Um bit (0 ou 1) de informação é transmitido por um canal com ruído. Seja p a probabilidade de que seja erradamente recebido. Para melhorar a transmissão uma alternativa é utilizar um decodificador de maioria de dois em três, ou seja, enviar de forma independente 3 vezes a mesma informação registrando como resultado aquela que foi recebida pelo menos duas vezes.
Dado N o total de bits corretamente recebidos em um decodificador de maioria de 2 em 3 , faça o que se pede.
Para quais valores de p o decodificador de maioria de dois em três tem maior probabilidade de transmitir corretamente que a transmissão de única tentativa?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o enunciado. A ideia é comparar duas estratégias de enviar um bit (0 ou 1) num canal com ruído que erra com probabilidade :
  1. Enviar o bit só uma vez (probabilidade de receber certo é ).
  2. Repetir o mesmo bit 3 vezes e, na recepção, usar um decodificador por “maioria de 2 em 3” (ou seja, se pelo menos 2 das 3 chegarem iguais, assumimos esse valor).
Matéria envolvida: probabilidade (distribuição binomial) e desigualdade para ver qual estratégia dá mais certo. Vamos precisar saber contar probabilidades de “exatamente ” sucessos em tentativas e resolver uma inequação.

Passo 2

Calcular a probabilidade de receber o bit certo na transmissão única:
Púnica = 1 - pú

Passo 3

Agora, na repetição tripla com decodificador por maioria, a gente acerta se chegam pelo menos 2 bits corretos. Como cada envio erra com probabilidade Pmaioria = Pr(X>=2) = binom32(1-p)^2,p + binom33(1-p)^3 = 3(1-p)^2 p + (1-p)^3 e acerta com probabilidade , usamos a fórmula da binomial para :

Passo 4

Queremos achar para quais Pmaioria > Púnica vale
3(1-p)^2 p + (1-p)^3 > 1 - p ú
Substituindo:
(1-p)^2l(3p + (1-p)r) > 1 - p
Vamos manipular:
  1. Fatorar (1-p)^2(1 + 2p) > 1 - p :
(1-p)^2(1 + 2p) ;-;(1-p) > 0
  1. Expandir (1-p)l[(1-p)(1+2p) - 1r] > 0 ;Longrightarrow; (1-p)l[1 + 2p - p -2p^2 - 1r] > 0 ;Longrightarrow; (1-p),p,(1-2p) > 0 , dá
  1. Colocar tudo de um lado:
  1. Fatorar :

Passo 5

Agora analisamos o sinal do produto 0 < p < tfrac12 :
  • se .
  • se .
  • se .
Juntando tudo, o produto é positivo exatamente quando

Resposta

O decodificador de maioria 2 em 3 é melhor que a transmissão única sempre que
p < tfrac12

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