Um bit (0 ou 1) de informação é transmitido por um canal com ruído. Seja
a probabilidade de que seja erradamente recebido. Para melhorar a transmissão uma alternativa é utilizar um decodificador de maioria de dois em três, ou seja, enviar de forma independente 3 vezes a mesma informação registrando como resultado aquela que foi recebida pelo menos duas vezes.
Dado N o total de bits corretamente recebidos em um decodificador de maioria de 2 em 3 , faça o que se pede.
Para quais valores de
o decodificador de maioria de dois em três tem maior probabilidade de transmitir corretamente que a transmissão de única tentativa?
Dado N o total de bits corretamente recebidos em um decodificador de maioria de 2 em 3 , faça o que se pede.
Para quais valores de
Passo 1
Beleza, vamos recapitular rapidinho o enunciado. A ideia é comparar duas estratégias de enviar um bit (0 ou 1) num canal com ruído que erra com probabilidade
:
- Enviar o bit só uma vez (probabilidade de receber certo é
). - Repetir o mesmo bit 3 vezes e, na recepção, usar um decodificador por “maioria de 2 em 3” (ou seja, se pelo menos 2 das 3 chegarem iguais, assumimos esse valor).
Matéria envolvida: probabilidade (distribuição binomial) e desigualdade para ver qual estratégia dá mais certo. Vamos precisar saber contar probabilidades de “exatamente
” sucessos em
tentativas e resolver uma inequação.
Passo 2
Calcular a probabilidade de receber o bit certo na transmissão única:
Passo 3
Agora, na repetição tripla com decodificador por maioria, a gente acerta se chegam pelo menos 2 bits corretos. Como cada envio erra com probabilidade
e acerta com probabilidade
, usamos a fórmula da binomial para
:
Passo 4
Queremos achar para quais
vale
Substituindo:
Vamos manipular:
- Fatorar
:
- Expandir
, dá
- Colocar tudo de um lado:
- Fatorar
:
Passo 5
Agora analisamos o sinal do produto
:
-
se . -
se . -
se .
Juntando tudo, o produto é positivo exatamente quando
Resposta
O decodificador de maioria 2 em 3 é melhor que a transmissão única sempre que