Uma urna possui 4 bolas vermelhas, 4 bolas verdes e 2 amarelas. Usando esta urna, faremos dois experimentos aleatórios. No primeiro sortearemos 2 bolas, sem reposição. No segundo sortearemos um total de 100 bolas, agora com reposição.
Seja Y o total de bolas vermelhas sorteadas no primeiro experimento, e
o total de bolas amarelas sorteadas no segundo experimento.
Nestas condições, faça o que se pede.
Determine a função probabilidade de
.
Seja Y o total de bolas vermelhas sorteadas no primeiro experimento, e
Nestas condições, faça o que se pede.
Determine a função probabilidade de
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma urna com 4 bolas vermelhas, 4 verdes e 2 amarelas (total de 10). Vamos fazer um sorteio de 2 bolas sem reposição e chamar de
o número de bolas vermelhas que saíram. O conteúdo da matéria aqui é a distribuição hipergeométrica, pois sorteio sem reposição numa população finita se resolve com combinações. Para calcular vamos precisar de:
- Noção de combinação
. - Fórmula da probabilidade hipergeométrica:
onde , (vermelhas), (número de bolas retiradas).
Passo 2
Primeiro identificamos os valores possíveis de
. Como só tiramos 2 bolas,
pode ser 0, 1 ou 2 vermelhas. Então vamos usar a fórmula:
Anotando:
- Total de formas de tirar 2 bolas quaisquer:
. - Se não sai nenhuma vermelha, tiramos 2 de “não-vermelhas” (6 bolas restantes).
- Se sai uma vermelha, tiramos 1 de 4 e 1 de 6.
- Se sai duas vermelhas, tiramos 2 de 4.
Passo 3
Vamos calcular cada caso:
-
: -
: -
:
Resposta
A função probabilidade de
é
Numericamente: