Uma urna possui 4 bolas vermelhas, 4 bolas verdes e 2 amarelas. Usando esta urna, faremos dois experimentos aleatórios. No primeiro sortearemos 2 bolas, sem reposição. No segundo sortearemos um total de 100 bolas, agora com reposição.
Seja Y o total de bolas vermelhas sorteadas no primeiro experimento, e X o total de bolas amarelas sorteadas no segundo experimento.
Nestas condições, faça o que se pede.
Determine a função probabilidade de Y.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma urna com 4 bolas vermelhas, 4 verdes e 2 amarelas (total de 10). Vamos fazer um sorteio de 2 bolas sem reposição e chamar de P(Y = y) ;=; Kchoose y,N-Kchoose n-y Nchoose n o número de bolas vermelhas que saíram. O conteúdo da matéria aqui é a distribuição hipergeométrica, pois sorteio sem reposição numa população finita se resolve com combinações. Para calcular vamos precisar de:
  • Noção de combinação .
  • Fórmula da probabilidade hipergeométrica: onde , (vermelhas), (número de bolas retiradas).

Passo 2

Primeiro identificamos os valores possíveis de P(Y=y) = 4choose y,6choose 2-y10choose 2 . Como só tiramos 2 bolas, pode ser 0, 1 ou 2 vermelhas. Então vamos usar a fórmula:
Anotando:
  • Total de formas de tirar 2 bolas quaisquer: .
  • Se não sai nenhuma vermelha, tiramos 2 de “não-vermelhas” (6 bolas restantes).
  • Se sai uma vermelha, tiramos 1 de 4 e 1 de 6.
  • Se sai duas vermelhas, tiramos 2 de 4.

Passo 3

Vamos calcular cada caso:
  1. P(Y=0)=4choose0,6choose245 =1cdot 1545 =1545 =tfrac13 : P(Y=1)=4choose1,6choose145 =4cdot 645 =2445 =tfrac815
  2. P(Y=2)=4choose2,6choose045 =6cdot 145 =645 =tfrac215 :
  3. :

Resposta

A função probabilidade de P(Y=y) ;=; 4choose y,6choose 2-y10choose2, & y=0,1,2,[6pt] 0, & caso contrário é
P(Y=0)=tfrac13, P(Y=1)=tfrac815, P(Y=2)=tfrac215 á
Numericamente:

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