Um bloco com 20 N de peso está posicionado sobre um plano inclinado com ângulo de (45^{\circ}). Uma força externa F é aplicada ao longo da direção ascendente do plano. Há atrito entre o bloco e o plano inclinado. Determine o valor do coeficiente de atrito estático para que o bloco fique na iminência do movimento se:
a) F=20 \sqrt{ } 2 N.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo anotado exatamente do problema):
  • Peso do bloco: 20\\ \text{N}.
  • Plano inclinado com ângulo \,45^\circ.
  • Força externa aplicada ao longo do plano, no sentido ascendente: F=20\sqrt{2}\\ \text{N}.
  • Há atrito entre bloco e plano; pede-se o coeficiente de atrito estático \mu_s necessário para que o bloco esteja na iminência do movimento (ou seja, em equilíbrio estático, prestes a deslizar).
O que se pede:
  • Determinar \mu_s para que o bloco esteja em equilíbrio limítrofe (im iminência de movimento) dado o F informado.

Passo 2

Vamos identificar as forças que atuam no bloco e como usá-las. Sempre gosto de desenhar mentalmente o diagrama de corpo livre:
  • Peso W=20\\ \text{N} atuando verticalmente para baixo.
  • Força F para cima ao longo do plano, magnitude 20\sqrt{2}\\ \text{N}.
  • Força de atrito estático f_s, cujo módulo vale no máximo \mu_s N e que atua no sentido que se opõe ao movimento que está prestes a ocorrer.
  • Reação normal N, perpendicular ao plano.
Precisamos decompor o peso nas componentes perpendicular e paralela ao plano:
  • componente perpendicular: W_\perp = W\cos\theta,
  • componente paralela (tendendo a deslizar para baixo): W_{\parallel} = W\sin\theta.

Passo 3

Calcular as componentes do peso usando \theta=45^\circ.
W = 20\\ \text{N},\qquad \theta = 45^\circ.
W_{\perp} = W\cos\theta = 20\cos(45^\circ) = 20\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}\\ \text{N}.
W_{\parallel} = W\sin\theta = 20\sin(45^\circ) = 20\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}\\ \text{N}.

Passo 4

Determinar a normal N. Como não há outras forças na direção perpendicular ao plano:
N = W_{\perp} = 10\sqrt{2}\\ \text{N}.
Agora raciocine sobre a direção do atrito: compare F com W_{\parallel}.
F = 20\sqrt{2}\\ \text{N},\qquad W_{\parallel}=10\sqrt{2}\\ \text{N}.
Como F>W_{\parallel}, a tendência seria que o bloco se mova para cima do plano; portanto, no caso de iminência de movimento, a força de atrito estático age para baixo ao longo do plano, somando-se ao componente do peso para equilibrar F.

Passo 5

Usar a condição de equilíbrio na iminência de movimento: a soma das forças na direção do plano deve ser zero, e o atrito estático assume seu valor máximo f_s=\mu_s N. Assim,
F - W_{\parallel} - f_s = 0.
Substituindo f_s=\mu_s N e isolando \mu_s:
F - W_{\parallel} - \mu_s N = 0 \quad\Longrightarrow\quad \mu_s = \frac{F - W_{\parallel}}{N}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos que calculamos:
F - W_{\parallel} = 20\sqrt{2} - 10\sqrt{2} = 10\sqrt{2}.
N = 10\sqrt{2}.
Portanto
\mu_s = \frac{10\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = 1.

Passo 7

Interpretação rápida e encorajadora: o coeficiente \mu_s=1 é o valor mínimo para que, com F=20\sqrt{2}\\ \text{N}, o bloco permaneça em equilíbrio limítrofe (pronto para deslizar para cima). Bons sinais: a conta simplificou bem por causa do ângulo de 45^\circ, então deu para fazer tudo com radicais e sem calculadora. Você está indo bem — respira, faz devagar e revisa cada componente como fizemos.

Resposta

\mu_s=1

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