Uma força variável
atua sobre um corpo que move-se apenas ao longo do eixo
. Determine:
a) O trabalho realizado ao deslocar o corpo da posição
até
.
b) Tomando o valor de referência da energia potencial como
, determine o valor de
.
a) O trabalho realizado ao deslocar o corpo da posição
b) Tomando o valor de referência da energia potencial como
Passo 1
O enunciado dá a força variável
e diz que o corpo move-se apenas ao longo do eixo
.
O que se pede:
a) o trabalho realizado ao deslocar o corpo de até
.
b) tomando a referência da energia potencial como , determinar
.
O que se pede:
a) o trabalho realizado ao deslocar o corpo de
b) tomando a referência da energia potencial como
Informações relevantes dadas:
- Componente
da força: (em newtons). - Componentes
e são constantes e , respetivamente. - Movimento restrito ao eixo
, ou seja os deslocamentos são do tipo . - Referência para a energia potencial:
(assumiremos se for pedido o valor numérico relativo a essa referência).
Passo 2
Relembrando a definição de trabalho para uma força variável: o trabalho realizado por uma força vetorial
ao longo de uma trajetória
é
Aqui:
-
é a força vetorial que depende de (e possivelmente de ). -
é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória.
O produto escalar (dot product)pega apenas as componentes paralelas: se e , então
No nosso caso o corpo só se desloca ao longo do eixo
, portanto
e
. Assim o integrando reduz-se à componente
da força multiplicada por
.
Passo 3
Aplicando o item anterior ao problema: como
,
Portanto o trabalho entre dois pontos
e
é
Passo 4
Calcular o trabalho pedido em (a): do
até
. Montamos a integral
Agora integramos termo a termo. Lembrete de integração básica:
-
para .
Aplicando:
Logo uma antiderivada é
. Avaliando nos limites:
Calcule passo a passo:
Não esquecer unidades: trabalho em joules. Portanto
.
Passo 5
Agora a parte (b): ligação entre força e energia potencial. Quando uma força é conservativa (aqui a componente
depende só de
e pode ser derivada de um potencial), existe uma função
tal que
Isto vem da relação diferencial
(variação infinitesimal de energia potencial é o negativo do trabalho infinitesimal feito pela força). Assim, para obter
a partir de
fazemos
onde
é uma constante de integração que será fixada pela condição de referência. O enunciado dá a referência
; se adotarmos
(valor de referência), então
é escolhido para satisfazer isso.
Passo 6
Aplicando ao nosso
:
Usamos a antiderivada que já calculamos:
. Logo
Impondo a referência
:
Portanto
Agora avaliamos em
:
Unidades: joules. Assim
(referência
).
Passo 7
Resumo físico e checagem rápida: o trabalho calculado em (a) é a integral da componente
da força ao longo de
— isso desconsidera as componentes constantes em
e
porque não houve deslocamento nessas direções. Para (b) foi usado que a força é derivável a partir de um potencial porque
depende apenas de
, permitindo relacionar
e
por
. Os sinais fazem sentido: a força tem componente positiva (empurra no sentido +x), então ao deslocar no sentido +x o trabalho é positivo e a energia potencial diminui (fica negativa em
se
).
Resposta
a)
b)
b)