Uma força variável \mathbf{F}=\left(3 x^{2}+2 x\right) N i+4 N j+6 N k atua sobre um corpo que move-se apenas ao longo do eixo x. Determine:
a) O trabalho realizado ao deslocar o corpo da posição x=1 \mathrm{~m} até x=3 \mathrm{~m}.
b) Tomando o valor de referência da energia potencial como \mathrm{U}(\mathrm{x}=0), determine o valor de \mathrm{U}(\mathrm{x}=10 \mathrm{~m}).

Passo 1

O enunciado dá a força variável
\mathbf{F}=\bigl(3x^{2}+2x\bigr)\,\mathrm{N}\,\mathbf{i}+4\,\mathrm{N}\,\mathbf{j}+6\,\mathrm{N}\,\mathbf{k}
e diz que o corpo move-se apenas ao longo do eixo x.
O que se pede:
a) o trabalho realizado ao deslocar o corpo de x=1\\ \mathrm{m} até x=3\\ \mathrm{m}.
b) tomando a referência da energia potencial como U(x=0), determinar U(x=10\\ \mathrm{m}).
Informações relevantes dadas:
  • Componente x da força: F_x(x)=3x^{2}+2x (em newtons).
  • Componentes y e z são constantes 4\\ \mathrm{N} e 6\\ \mathrm{N}, respetivamente.
  • Movimento restrito ao eixo x, ou seja os deslocamentos são do tipo d\mathbf{r}=dx\,\mathbf{i}.
  • Referência para a energia potencial: U(0) (assumiremos U(0)=0 se for pedido o valor numérico relativo a essa referência).

Passo 2

Relembrando a definição de trabalho para uma força variável: o trabalho realizado por uma força vetorial \mathbf{F} ao longo de uma trajetória \mathcal{C} é
W=\int_{\mathcal{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Aqui:
  • \mathbf{F} é a força vetorial que depende de x (e possivelmente de y,z).
  • d\mathbf{r} é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória.
    O produto escalar (dot product) \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} pega apenas as componentes paralelas: se d\mathbf{r}=dx\,\mathbf{i}+dy\,\mathbf{j}+dz\,\mathbf{k} e \mathbf{F}=F_x\mathbf{i}+F_y\mathbf{j}+F_z\mathbf{k}, então
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz.
No nosso caso o corpo só se desloca ao longo do eixo x, portanto dy=dz=0 e d\mathbf{r}=dx\,\mathbf{i}. Assim o integrando reduz-se à componente x da força multiplicada por dx.

Passo 3

Aplicando o item anterior ao problema: como d\mathbf{r}=dx\,\mathbf{i},
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\bigl(3x^{2}+2x\bigr)\,dx.
Portanto o trabalho entre dois pontos x=a e x=b é
W_{a\to b}=\int_{a}^{b}\bigl(3x^{2}+2x\bigr)\,dx.

Passo 4

Calcular o trabalho pedido em (a): do x=1 até x=3. Montamos a integral
W_{1\to 3}=\int_{1}^{3}\bigl(3x^{2}+2x\bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo. Lembrete de integração básica:
  • \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1.
    Aplicando:
\int 3x^{2}\,dx=3\cdot\frac{x^{3}}{3}=x^{3}, \qquad \int 2x\,dx=2\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}.
Logo uma antiderivada é x^{3}+x^{2}. Avaliando nos limites:
W_{1\to 3}=\bigl[x^{3}+x^{2}\bigr]_{1}^{3}=\bigl(3^{3}+3^{2}\bigr)-\bigl(1^{3}+1^{2}\bigr).
Calcule passo a passo:
3^{3}=27,\qquad 3^{2}=9\quad\Rightarrow\quad 27+9=36,
1^{3}=1,\qquad 1^{2}=1\quad\Rightarrow\quad 1+1=2,
W_{1\to 3}=36-2=34.
Não esquecer unidades: trabalho em joules. Portanto W_{1\to 3}=34\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Agora a parte (b): ligação entre força e energia potencial. Quando uma força é conservativa (aqui a componente F_x depende só de x e pode ser derivada de um potencial), existe uma função U(x) tal que
F_x(x)=-\frac{dU}{dx}.
Isto vem da relação diferencial dU=-\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} (variação infinitesimal de energia potencial é o negativo do trabalho infinitesimal feito pela força). Assim, para obter U(x) a partir de F_x(x) fazemos
U(x)=-\int F_x(x)\,dx + C,
onde C é uma constante de integração que será fixada pela condição de referência. O enunciado dá a referência U(x=0); se adotarmos U(0)=0 (valor de referência), então C é escolhido para satisfazer isso.

Passo 6

Aplicando ao nosso F_x=3x^{2}+2x:
U(x)=-\int\bigl(3x^{2}+2x\bigr)\,dx + C.
Usamos a antiderivada que já calculamos: \int(3x^{2}+2x)\,dx=x^{3}+x^{2}. Logo
U(x)=-(x^{3}+x^{2})+C.
Impondo a referência U(0)=0:
U(0)=-(0^{3}+0^{2})+C=0 \quad\Rightarrow\quad C=0.
Portanto
U(x)=-(x^{3}+x^{2}).
Agora avaliamos em x=10\\ \mathrm{m}:
U(10)=-\bigl(10^{3}+10^{2}\bigr)=-\bigl(1000+100\bigr)=-1100.
Unidades: joules. Assim U(10)=-1100\\ \mathrm{J} (referência U(0)=0).

Passo 7

Resumo físico e checagem rápida: o trabalho calculado em (a) é a integral da componente x da força ao longo de x — isso desconsidera as componentes constantes em y e z porque não houve deslocamento nessas direções. Para (b) foi usado que a força é derivável a partir de um potencial porque F_x depende apenas de x, permitindo relacionar U e F_x por F_x=-dU/dx. Os sinais fazem sentido: a força tem componente positiva (empurra no sentido +x), então ao deslocar no sentido +x o trabalho é positivo e a energia potencial diminui (fica negativa em x=10 se U(0)=0).

Resposta

a) 34\\ \mathrm{J}
b) -1100\\ \mathrm{J}

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