Um bloco de 50 kg está pendurado por um cabo, o qual está conectado a dois outros, um formando ângulo de 60^circ e outro de 40^circ.
(b) Calcule as a tensão em cada cabo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um bloco de 50 kg pendurado por um cabo que se divide em outros dois cabos, formando ângulos de 60^circ e 40^circ com a vertical. Nosso objetivo é calcular a tensão em cada um desses dois cabos. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de equilíbrio estático e decomposição de forças nas direções horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no sistema. Temos:
  1. O peso do bloco ( P), que é a força gravitacional atuando para baixo. Podemos calcular isso usando P = m times g, onde m = 50,kg e g = 9,8,m/s²².
  2. As tensões nos dois cabos ( T1 e T2), que atuam ao longo dos cabos formando ângulos de 60^circ e 40^circ com a vertical, respectivamente.

Passo 3

Como o sistema está em equilíbrio, a soma das forças nas direções horizontal e vertical deve ser igual a zero. Vamos decompor as tensões T1 e T2 em componentes horizontal ( T1x, T2x) e vertical ( T1y, T2y).
Para isso, usamos as funções trigonométricas:
  • T1x = T1 times sin(60^circ)
  • T1y = T1 times cos(60^circ)
  • T2x = T2 times sin(40^circ)
  • T2y = T2 times cos(40^circ)

Passo 4

Aplicando as condições de equilíbrio:
Equilíbrio horizontal:
A soma das forças horizontais deve ser zero.
T1x = T2x
T1 times sin(60^circ) = T2 times sin(40^circ)
Esta é nossa primeira equação.
Equilíbrio vertical:
A soma das forças verticais deve equilibrar o peso do bloco.
T1y + T2y = P
T1 times cos(60^circ) + T2 times cos(40^circ) = m times g
Esta é nossa segunda equação.

Passo 5

Vamos calcular o peso do bloco:
P = m times g = 50,kg times 9,8,m/s² = 490,N ²
Agora, temos o sistema de equações:
  1. $ T_1 \times \sin(60^{\circ}) = T_2 \times \sin(40^{\circ}) $
  2. $ T_1 \times \cos(60^{\circ}) + T_2 \times \cos(40^{\circ}) = 490,N $

Passo 6

Vamos resolver a primeira equação para expressar T1 em termos de T2:
T1 = T2 times sin(40^circ)sin(60^circ)
Agora, substituímos T1 na segunda equação:
( T2 times sin(40^circ)sin(60^circ) ) times cos(60^circ) + T2 times cos(40^circ) = 490,N

Passo 7

Vamos calcular os valores numéricos das funções trigonométricas:
  • sin(60^circ) approx 0,8660
  • cos(60^circ) = 0,5
  • sin(40^circ) approx 0,6428
  • cos(40^circ) approx 0,7660
Substituindo na equação:
( T2 times 0,64280,8660 ) times 0,5 + T2 times 0,7660 = 490,N
( T2 times 0,7425 ) times 0,5 + T2 times 0,7660 = 490,N
T2 times 0,3713 + T2 times 0,7660 = 490,N
T2 times (0,3713 + 0,7660) = 490,N
T2 times 1,1373 = 490,N

Passo 8

Agora, resolvemos para T2:
T2 = 490,N1,1373 approx 430,N
Agora, voltamos à expressão para T1:
T1 = T2 times sin(40^circ)sin(60^circ) = 430,N times 0,64280,8660 approx 320,N

Resposta

A tensão no cabo que forma 60^circ é aproximadamente 320,N e a tensão no cabo que forma 40^circ é aproximadamente 430,N.

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