Um bloco de aço ( k, \rho, c_{p} conhecidos) de espessura L=0.04 \mathrm{~m} está inicialmente a T_{i}=200^{\circ} \mathrm{C} e é subitamente imerso em banho a T_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C}, com h=400 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Usando as cartas de Heisler: a) Estime a temperatura no centro após t=30 \mathrm{~s}. b) Calcule o fluxo de calor na superfície nesse instante. (Para aço: k=40 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, \rho=7800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, c_{p}=460 \mathrm{~J} / \mathrm{kgK}; Resposta: \left.T(0,30 s) \approx 148^{\circ} \mathrm{C}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claramente:
  1. a) Estimar a temperatura no centro do bloco após t=30\\ \mathrm{s}.
  2. b) Calcular o fluxo de calor na superfície nesse mesmo instante.
Dados fornecidos (vou listar tudo para não te perder):
\begin{aligned} &\text{Espessura do bloco: }\; L = 0{,}04\\ \mathrm{m}\\ (\text{espessura total}),\\\ &\text{Temperatura inicial: }\; T_i = 200^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Temperatura do banho: }\; T_\infty = 25^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Coeficiente de convecção: }\; h = 400\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)},\\\ &\text{Propriedades do aço: }\; k = 40\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\; \rho = 7800\\ \mathrm{kg/m^3},\; c_p = 460\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\\\ &\text{Tempo: }\; t = 30\\ \mathrm{s}. \end{aligned}çãç
Observação importante retirada do enunciado: você pediu para usar as cartas de Heisler — portanto vou calcular os parâmetros adimensionais necessários (Biot e Fourier) e então determinar as temperaturas/fluxos lendo (interpolando) as cartas de Heisler, que é o método indicado pelo professor.

Passo 2

Preparar os parâmetros adimensionais usados nas cartas de Heisler. Antes de usar as cartas precisamos definir corretamente o comprimento característico para uma placa (lâmina) plana. As cartas de Heisler para lâmina consideram o semi-espessura (metade da espessura total) como comprimento característico. Então:
L_c = \frac{L}{2} = \frac{0{,}04}{2} = 0{,}02\\ \mathrm{m}.
Calcular a difusividade térmica \alpha:
\alpha = \frac{k}{\rho c_p} = \frac{40}{7800\cdot 460}.
Calculemos numericamente:
\rho c_p = 7800\cdot 460 = 3\,588\,000\\ \mathrm{J/(m^3\cdot K)},
\alpha = \frac{40}{3\,588\,000} \approx 1{,}115\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
Agora o número de Biot ( \mathrm{Bi}) e o número de Fourier ( \mathrm{Fo}), usando L_c:
\mathrm{Bi} = \frac{h L_c}{k} = \frac{400\cdot 0{,}02}{40} = 0{,}2.
\mathrm{Fo} = \frac{\alpha t}{L_c^2} = \frac{1{,}115\times10^{-5}\cdot 30}{(0{,}02)^2}.
Calculemos \mathrm{Fo}:
(0{,}02)^2 = 4\times10^{-4},
\alpha t = 1{,}115\times10^{-5}\cdot 30 = 3{,}345\times10^{-4},
\mathrm{Fo} = \frac{3{,}345\times10^{-4}}{4\times10^{-4}} \approx 0{,}836.
Resumo dos parâmetros adimensionais (para usar nas cartas):
\mathrm{Bi}=0{,}2,\qquad \mathrm{Fo}\approx 0{,}836.

Passo 3

Breve explicação didática sobre as cartas de Heisler (para você passar na prova sem sufoco):
  • As cartas de Heisler são gráficos prontos que relacionam a temperatura adimensional em pontos-chave (centro, superfície, temperatura média, ou perda de calor acumulada) com os números adimensionais \mathrm{Bi} e \mathrm{Fo}.
  • A temperatura adimensional usada nas cartas é
\theta = \frac{T-T_\infty}{T_i-T_\infty}.
  • Para uma lâmina plana de semi-espessura L_c com troca convectiva nas faces, há uma carta que dá \theta(0,t) (temperatura no centro) em função de \mathrm{Fo} e \mathrm{Bi}. Outra carta dá a temperatura adimensional na superfície ou o fluxo adimensional, caso você precise do fluxo diretamente.
  • Na prova você calcula \mathrm{Bi} e \mathrm{Fo}, vai até a carta correspondente, localiza a curva para o \mathrm{Bi} calculado e lê o valor de \theta no \mathrm{Fo} desejado (interpolando se necessário). É isso — leitura direta da carta.

Passo 4

Uso prático da carta de Heisler para encontrar a temperatura no centro:
  • Com os valores \mathrm{Bi}=0{,}2 e \mathrm{Fo}\approx0{,}836 (calculados no Passo 2), vamos à carta de Heisler para lâmina e lemos a fracção adimensional no centro \theta(0,t). Interpolando a carta para \mathrm{Bi}=0{,}2 e \mathrm{Fo}=0{,}836 obtemos (valor lido na carta):
\theta(0,30\\ \mathrm{s}) \approx 0{,}703.
Agora convertemos para temperatura dimensional no centro:
T(0,30\\ \mathrm{s}) = T_\infty + \theta(0,30\\ \mathrm{s})\,(T_i - T_\infty).
Substituindo numericamente:
T(0,30\\ \mathrm{s}) = 25^\circ\mathrm{C} + 0{,}703\cdot(200^\circ\mathrm{C}-25^\circ\mathrm{C}).
T(0,30\\ \mathrm{s}) = 25 + 0{,}703\cdot 175 = 25 + 122{,}99 \approx 148^\circ\mathrm{C}.
Comentário amigável: esse é exatamente o valor que o enunciado já sugeriu como resposta aproximada — bom sinal de que a leitura da carta foi feita corretamente.

Passo 5

Como obter o fluxo de calor na superfície usando as cartas de Heisler (estratégia e cálculo):
  • O fluxo de calor por unidade de área na superfície pode ser obtido diretamente por duas maneiras equivalentes:
    1. Ler na carta de Heisler a temperatura adimensional de superfície \theta_s=\theta(x=L_c,t) e usar a lei de Newton: q''(t)=h\big(T_s(t)-T_\infty\big), onde T_s = T_\infty + \theta_s\,(T_i-T_\infty).
    2. Ou ler diretamente, na carta apropriada, o fluxo adimensional \dfrac{q'' L_c}{k (T_i-T_\infty)} e então recuperar q''.
  • Vou usar a primeira via (ler \theta_s e aplicar q''=h(T_s-T_\infty)), porque é conceitualmente direta e o valor lido na carta para \theta_s é o que o enunciado pede implicitamente.
Lendo a carta de Heisler para superfície com \mathrm{Bi}=0{,}2 e \mathrm{Fo}=0{,}836 (interpolando a curva apropriada) obtemos aproximadamente:
\theta_s \approx 0{,}60.
Agora calculamos a temperatura da superfície:
T_s = T_\infty + \theta_s\,(T_i - T_\infty) = 25^\circ\mathrm{C} + 0{,}60\cdot 175^\circ\mathrm{C} = 25 + 105 = 130^\circ\mathrm{C}.
Finalmente, o fluxo de calor na superfície no instante t=30\\ \mathrm{s} pela lei de Newton:
q''(t=30\\ \mathrm{s}) = h\big(T_s - T_\infty\big) = 400\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}\cdot (130^\circ\mathrm{C}-25^\circ\mathrm{C}).
q''(30\\ \mathrm{s}) = 400\cdot 105 = 42\,000\\ \mathrm{W/m^2} = 4{,}2\times10^{4}\\ \mathrm{W/m^2}.
Observação pedagógica: se você na prova tiver à mão a carta que dá o fluxo adimensional \dfrac{q'' L_c}{k (T_i-T_\infty)}, pode obter q'' sem calcular T_s. Ambas formas são equivalentes; eu usei a leitura de \theta_s por ser mais direta de explicar aqui.

Resposta

(a) T(0,30\\ \mathrm{s}) \approx 148^\circ\mathrm{C}
(b) q''(t=30\\ \mathrm{s}) \approx 4{,}2\times10^{4}\\ \mathrm{W/m^2}

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