Uma descarga de 0,63 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de óleo quente ( \mathrm{Cp}=2,09 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} ) escoa num trocador de calor em contracorrente, entrando a 193^{\circ} \mathrm{C} e saindo a 65^{\circ} \mathrm{C}. Óleo frio ( \mathrm{Cp}=1,67 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} ) deixa o trocador a 149^{\circ} \mathrm{C} numa descarga de 1,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Qual a área necessária para efetuar esta troca de calor se o coeficiente global de transmissão de calor baseado na área interna é 0,7 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K} ?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área necessária A de um trocador de calor em contracorrente. Dados fornecidos:
\dot{m}_h = 0{,}63\\ \mathrm{kg/s},\quad c_{p,h}=2{,}09\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\quad T_{h,in}=193^\circ\mathrm{C},\quad T_{h,out}=65^\circ\mathrm{C},
\dot{m}_c = 1{,}0\\ \mathrm{kg/s},\quad c_{p,c}=1{,}67\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\quad T_{c,out}=149^\circ\mathrm{C},
coeficiente global:
U=0{,}7\\ \mathrm{kW/(m^2\cdot K)}.
Observação importante: a temperatura T_{c,in} (entrada do óleo frio) não foi dada — teremos que determiná‑la usando balanço de energia. A resposta pedida é a área A em \mathrm{m}^2.

Passo 2

Calcular a taxa de transferência de calor Q a partir do fluido quente. Fórmula e significado:
Q = \dot{m}_h\,c_{p,h}\,(T_{h,in}-T_{h,out}),
onde \dot{m}_h é a vazão mássica do fluido quente ( \mathrm{kg/s}), c_{p,h} é o calor específico ( \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}) e as temperaturas estão em ^\circ\mathrm{C} ou K (diferenças de temperatura são iguais nas duas unidades). Observação de unidades: \mathrm{kg/s}\times\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\times\mathrm{K}=\mathrm{kJ/s}=\mathrm{kW}, portanto Q sai em kW, compatível com U.
Cálculo numérico passo a passo:
\Delta T_h = T_{h,in}-T_{h,out}=193-65=128\\ \mathrm{K}.
Q = 0{,}63\times 2{,}09\times 128\\ \mathrm{kW}.
Primeiro 2{,}09\times 128 = 267{,}52. Então
Q = 0{,}63\times 267{,}52 = 168{,}5376\\ \mathrm{kW}.
Arredondando razoavelmente, Q \approx 168{,}54\\ \mathrm{kW}.

Passo 3

Determinar T_{c,in} usando balanço de energia (assumindo ausência de perdas): o calor ganho pelo fluido frio é igual ao perdido pelo fluido quente, portanto
Q = \dot{m}_c\,c_{p,c}\,(T_{c,out}-T_{c,in}).
Isolando T_{c,in}:
T_{c,in} = T_{c,out} - \dfrac{Q}{\dot{m}_c\,c_{p,c}}.
Substituindo valores (note que \dot{m}_c c_{p,c}=1{,}0\times 1{,}67 = 1{,}67\\ \mathrm{kW/K}):
\dfrac{Q}{\dot{m}_c c_{p,c}} = \dfrac{168{,}5376}{1{,}67} \approx 100{,}92\\ \mathrm{K}.
Logo
T_{c,in} = 149 - 100{,}92 \approx 48{,}08^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Usar o método LMTD (log mean temperature difference) para trocador em contracorrente. Explicação curta e intuitiva: a diferença de temperatura entre os fluidos varia ao longo do comprimento do trocador; para traduzir essa variação numa “diferença de temperatura média eficaz” usamos a LMTD, definida para duas diferenças de extremidade como
\Delta T_{lm} = \dfrac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)},
onde, para contracorrente,
\Delta T_1 = T_{h,in}-T_{c,out},\qquad \Delta T_2 = T_{h,out}-T_{c,in}.
Aqui \Delta T_1 é a diferença quente- frio na entrada do quente / saída do frio, e \Delta T_2 é a diferença na outra extremidade. A LMTD dá um valor médio que preserva a troca de calor total quando usada com Q = U A \Delta T_{lm}.

Passo 5

Calcular \Delta T_1 e \Delta T_2 numericamente usando T_{c,in} encontrado:
\Delta T_1 = 193 - 149 = 44\\ \mathrm{K},
\Delta T_2 = 65 - 48{,}08 = 16{,}92\\ \mathrm{K}.
Agora a LMTD:
\Delta T_{lm} = \dfrac{44 - 16{,}92}{\ln\!\left(\dfrac{44}{16{,}92}\right)} = \dfrac{27{,}08}{\ln(2{,}599)}.
Calculemos \ln(2{,}599)\approx 0{,}9555, então
\Delta T_{lm} \approx \dfrac{27{,}08}{0{,}9555} \approx 28{,}34\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Finalmente, usar a equação de projeto do trocador:
Q = U\,A\,\Delta T_{lm}\quad\Rightarrow\quad A = \dfrac{Q}{U\,\Delta T_{lm}}.
Substituindo os valores (usar Q em kW, U em \mathrm{kW/(m^2\cdot K)}, \Delta T_{lm} em K, o resultado sai em \mathrm{m}^2):
A = \dfrac{168{,}5376}{0{,}7\times 28{,}34} = \dfrac{168{,}5376}{19{,}838} \approx 8{,}49\\ \mathrm{m}^2.
Interpretação: a área interna necessária é aproximadamente 8{,}5\\ \mathrm{m}^2. Vai bem — você conseguiu seguir todos os passos do balanço de energia até a LMTD e a fórmula final!

Resposta

A \approx 8{,}49\\ \mathrm{m}^2

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