Um corpo sólido tem m=2.5 \mathrm{~kg}, c_{p}=900 \mathrm{~J} / \mathrm{kgK}, h A=20 \mathrm{~W} / \mathrm{K}. A temperatura inicial é T_{i}=150^{\circ} \mathrm{C} e o ar ambiente está a T_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C}. a) Determine a constante de tempo \tau=\frac{m c_{p}}{h A}. b) Calcule o tempo necessário para que T=60^{\circ} \mathrm{C}. (Respostas: \tau=112.5 \mathrm{~s}; t=208 \mathrm{~s} )

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
m=2,5\\ \mathrm{kg},\quad c_{p}=900\\ \mathrm{J/(kg\;K)},\quad hA=20\\ \mathrm{W/K},
T_{i}=150^\circ\mathrm{C},\quad T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}.
Perguntas:
  1. Determinar a constante de tempo \tau=\dfrac{m c_{p}}{hA}.
  2. Calcular o tempo t necessário para que a temperatura do corpo seja T=60^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Vamos escrever a lei diferencial que descreve o resfriamento pelo coeficiente convectivo: a taxa de variação da energia térmica do corpo é igual à potência convectiva perdida para o ar. Em forma de equação isso fica:
m c_{p}\,\frac{dT}{dt} = -hA\,(T-T_{\infty}).
Explicando cada termo: m c_{p} é a capacidade térmica do corpo (quanto de energia é preciso para mudar sua temperatura em 1 K), \dfrac{dT}{dt} é a taxa de variação da temperatura no tempo, hA é a condutância térmica convectiva (potência por unidade de diferença de temperatura) e (T-T_{\infty}) é a diferença entre a temperatura do corpo e a do ar. O sinal negativo aparece porque se T>T_{\infty} o corpo perde calor (temperatura decresce).

Passo 3

Essa equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem com separação de variáveis. Vamos separar e integrar para obter a solução. Reescrevendo:
\frac{dT}{T-T_{\infty}} = -\frac{hA}{m c_{p}}\,dt.
Integrando ambos os lados desde t=0 (onde T=T_{i}) até tempo t (onde T=T(t)):
\int_{T_{i}}^{T(t)}\frac{dT}{T-T_{\infty}} = -\frac{hA}{m c_{p}}\int_{0}^{t}dt.
A primitiva do lado esquerdo é o logaritmo natural, logo:
\ln\!\left(\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}\right) = -\frac{hA}{m c_{p}}\,t.
Definimos a constante de tempo
\tau=\frac{m c_{p}}{hA},
e obtemos a solução clássica exponencial:
T(t)=T_{\infty} + (T_{i}-T_{\infty})\,e^{-t/\tau}.
Interpretação: \tau é o tempo característico para a resposta térmica; após um tempo \tau a diferença T-T_{\infty} é reduzida por um fator e.

Passo 4

Agora calculamos numericamente \tau usando os dados:
\tau=\frac{m c_{p}}{hA}=\frac{2,5\times 900}{20}.
Calculemos passo a passo:
2,5\times 900 = 2250,
\tau=\frac{2250}{20}=112,5\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Para achar o tempo t tal que T(t)=60^\circ\mathrm{C}, usamos a solução exponencial e isolamos t. Começando de
T(t)=T_{\infty} + (T_{i}-T_{\infty})\,e^{-t/\tau},
substituímos as temperaturas e isolamos a exponencial:
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}} = e^{-t/\tau}.
Aplicando logaritmo natural e isolando t:
t = -\tau \,\ln\!\left(\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}\right).

Passo 6

Agora substituímos valores numéricos. Primeiro calculemos as diferenças de temperatura:
T_{i}-T_{\infty}=150-25=125,
T(t)-T_{\infty}=60-25=35.
A razão é
\frac{35}{125}=0{,}28.
Logo
t = -112{,}5\cdot \ln(0{,}28).
Calculando o logaritmo natural:
\ln(0{,}28)\approx -1{,}2729657.
Multiplicando:
t \approx 112{,}5\times 1{,}2729657 \approx 143{,}5\\ \mathrm{s}.
Em minutos, isso é cerca de 2 minutos e 23{,}5 segundos. Dica de prova: memorize a forma final
t=-\tau\ln\!\left(\frac{T-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}\right)
para calcular rápido quando precisar do tempo para atingir uma temperatura.

Resposta

\tau=112{,}5\\ \mathrm{s}
t\approx 143{,}5\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados