Um corpo sólido tem
. A temperatura inicial é
e o ar ambiente está a
. a) Determine a constante de tempo
. b) Calcule o tempo necessário para que
. (Respostas:
;
)
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
Perguntas:
- Determinar a constante de tempo
. - Calcular o tempo
necessário para que a temperatura do corpo seja .
Passo 2
Vamos escrever a lei diferencial que descreve o resfriamento pelo coeficiente convectivo: a taxa de variação da energia térmica do corpo é igual à potência convectiva perdida para o ar. Em forma de equação isso fica:
Explicando cada termo:
é a capacidade térmica do corpo (quanto de energia é preciso para mudar sua temperatura em 1 K),
é a taxa de variação da temperatura no tempo,
é a condutância térmica convectiva (potência por unidade de diferença de temperatura) e
é a diferença entre a temperatura do corpo e a do ar. O sinal negativo aparece porque se
o corpo perde calor (temperatura decresce).
Passo 3
Essa equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem com separação de variáveis. Vamos separar e integrar para obter a solução. Reescrevendo:
Integrando ambos os lados desde
(onde
) até tempo
(onde
):
A primitiva do lado esquerdo é o logaritmo natural, logo:
Definimos a constante de tempo
e obtemos a solução clássica exponencial:
Interpretação:
é o tempo característico para a resposta térmica; após um tempo
a diferença
é reduzida por um fator
.
Passo 4
Agora calculamos numericamente
usando os dados:
Calculemos passo a passo:
Passo 5
Para achar o tempo
tal que
, usamos a solução exponencial e isolamos
. Começando de
substituímos as temperaturas e isolamos a exponencial:
Aplicando logaritmo natural e isolando
:
Passo 6
Agora substituímos valores numéricos. Primeiro calculemos as diferenças de temperatura:
A razão é
Logo
Calculando o logaritmo natural:
Multiplicando:
Em minutos, isso é cerca de
minutos e
segundos. Dica de prova: memorize a forma final
para calcular rápido quando precisar do tempo para atingir uma temperatura.