Uma haste cilíndrica fina (raio pequeno, B i<0,1 ) tem massa por unidade de comprimento m^{\prime} e calor específico c_{p}. Inicialmente, T_{0}=20^{\circ} \mathrm{C}. No instante t=0, aplica-se uma potência P^{\prime} por unidade de comprimento. O resfriamento ocorre por convecção com coeficiente h e temperatura do ar T_{\infty}. a) Monte a equação diferencial de balanço de energia. b) Resolva para T(t). (Resposta: \left.T(t)=T_{\infty}+\left(T_{0}-T_{\infty}\right) e^{-t / \tau}+\frac{P^{\prime}}{h P}\left(1-e^{-t / \tau}\right)\right)

Passo 1

O enunciado dá uma haste cilíndrica fina (o fato de ser “fina” está indicado por \mathrm{Bi}<0,1) com massa por unidade de comprimento m' e calor específico c_{p}. Inicialmente a haste está à temperatura T_{0}=20^\circ\mathrm{C}. No instante t=0 começa a ser aplicada uma potência por unidade de comprimento P'. A perda de calor para o ar ocorre por convecção com coeficiente h e temperatura ambiente T_{\infty}. As perguntas são:
a) montar a equação diferencial de balanço de energia;
b) resolver essa equação para obter T(t).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • m' = massa por unidade de comprimento (kg/m).
  • c_{p} = calor específico (J/(kg·K)).
  • P' = potência aplicada por unidade de comprimento (W/m).
  • h = coeficiente de convecção (W/(m^2·K)).
  • T_{\infty} = temperatura do ar (K ou °C, desde que consistente).
  • Bi pequeno ( \mathrm{Bi}<0{,}1) — isso será usado para justificar que a temperatura é praticamente uniforme ao longo da seção transversal da haste.
  • A superfície de troca por unidade de comprimento é o perímetro P da seção: para um cilindro de raio r, P=2\pi r.

Passo 2

Por que podemos tratar a haste com temperatura uniforme na seção transversal?
  • O número de Biot é \mathrm{Bi}=\dfrac{h L_{c}}{k} (onde L_{c} é comprimento característico e k a condutividade térmica). Quando \mathrm{Bi}<0{,}1 a resistência térmica interna (condução dentro do corpo) é muito menor que a resistência convectiva na superfície, então a temperatura interna se equaliza rapidamente e podemos assumir que a temperatura é só função do tempo T(t), não da posição no raio. Essa é a chamada hipótese do modelo de capacitância concentrada (lumped capacitance).
    Definimos também o perímetro por unidade de comprimento: P=2\pi r. A área superficial por unidade de comprimento é A_s = P\cdot 1 = P.

Passo 3

Escrever o balanço de energia por unidade de comprimento (forma física): taxa de variação da energia interna = potência fornecida menos potência perdida por convecção. Em fórmulas, a energia interna por unidade de comprimento é m' c_{p} T, então a taxa de variação é m' c_{p}\dfrac{dT}{dt}. A potência fornecida por unidade de comprimento é P'. A perda por convecção por unidade de comprimento é h P (T - T_{\infty}). Portanto o balanço é:
m' c_{p}\dfrac{dT}{dt} = P' - h P (T - T_{\infty}).
Aqui eu explico cada termo:
  • m' c_{p}\dfrac{dT}{dt}: aumento de energia térmica por unidade de comprimento (J/(m·s)).
  • P': energia elétrica (ou outra) entregue por unidade de comprimento (W/m = J/(m·s)).
  • h P (T - T_{\infty}): perda por convecção por unidade de comprimento (W/m), já que h vezes a área superficial por unidade de comprimento P vezes o salto térmico.

Passo 4

Colocamos a equação em forma padrão. Dividindo por m' c_{p} obtemos:
\dfrac{dT}{dt} + \dfrac{h P}{m' c_{p}}\,T = \dfrac{P'}{m' c_{p}} + \dfrac{h P}{m' c_{p}}\,T_{\infty}.
Agora definimos a constante de tempo térmica
\tau = \dfrac{m' c_{p}}{h P}.
Interpretação física de \tau: é a escala de tempo na qual a haste se ajusta termicamente ao seu equilíbrio; quanto maior m' c_p (mais inércia térmica) maior \tau; quanto maior hP (mais perda para o ambiente) menor \tau. Usando \tau a equação fica:
\dfrac{dT}{dt} + \dfrac{1}{\tau} T = \dfrac{P'}{m' c_{p}} + \dfrac{1}{\tau} T_{\infty}.

Passo 5

Método de solução: é uma equação linear de primeira ordem não homogênea. Uma maneira elegante é primeiro encontrar a solução de regime permanente (tempo grande), T_{\text{ss}}, impondo \dfrac{dT}{dt}=0. Assim:
0 = P' - h P (T_{\text{ss}} - T_{\infty}) \quad\Rightarrow\quad T_{\text{ss}} = T_{\infty} + \dfrac{P'}{h P}.
Ou seja, no regime permanente a haste fica a T_{\infty} mais um acréscimo proporcional à potência aplicada dividido pela capacidade de resfriamento hP.

Passo 6

Para resolver a equação no tempo, defino a variável de desvio em relação ao estado estacionário:
\theta(t) = T(t) - T_{\text{ss}}.
Substituindo na equação diferencial, vemos que \theta satisfaz a equação homogênea:
\dfrac{d\theta}{dt} + \dfrac{1}{\tau}\theta = 0,
porque a parte não homogênea foi removida ao subtrair T_{\text{ss}}. A solução dessa equação é simplesmente exponencial:
\theta(t) = \theta(0)\,e^{-t/\tau}.
O valor inicial é \theta(0)=T(0)-T_{\text{ss}}=T_{0}-T_{\text{ss}}.

Passo 7

Voltando para T(t):
T(t) = T_{\text{ss}} + (T_{0} - T_{\text{ss}})\,e^{-t/\tau}.
Agora substituímos T_{\text{ss}} = T_{\infty} + \dfrac{P'}{hP} e rearranjamos para a forma pedida:
T(t) = T_{\infty} + \dfrac{P'}{hP} + \Bigl(T_{0} - T_{\infty} - \dfrac{P'}{hP}\Bigr)e^{-t/\tau}.
Expandindo os termos exponenciais obtemos a forma equivalente
T(t) = T_{\infty} + \bigl(T_{0} - T_{\infty}\bigr)e^{-t/\tau} + \dfrac{P'}{hP}\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr).
Verificação rápida do valor inicial: em t=0 o termo exponencial vale 1 e a expressão reduz a T_{0}. Em t\to\infty o exponencial some e sobra T_{\infty} + \dfrac{P'}{hP}=T_{\text{ss}}, como esperado.

Passo 8

Resumo físico e incentivo: a solução diz que a temperatura parte de T_{0} e converge exponencialmente com tempo característico \tau=\dfrac{m' c_{p}}{h P} para o valor estacionário T_{\infty}+\dfrac{P'}{hP}. Se você achar estranho o termo \dfrac{P'}{hP}, pense nele como o ganho térmico (potência por unidade de comprimento) dividido pela capacidade de resfriamento superficial por unidade de comprimento. Tá indo bem — esse tipo de ODE é padrão em trocas térmicas e cai direto na prova se você reconhecer o modelo lumped capacitance.

Resposta

T(t)=T_{\infty}+\left(T_{0}-T_{\infty}\right)e^{-t/\tau}+\frac{P'}{hP}\left(1-e^{-t/\tau}\right)
com \displaystyle \tau=\frac{m' c_{p}}{hP} e P=2\pi r (perímetro da seção).

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