Uma haste cilíndrica fina (raio pequeno,
) tem massa por unidade de comprimento
e calor específico
. Inicialmente,
. No instante
, aplica-se uma potência
por unidade de comprimento. O resfriamento ocorre por convecção com coeficiente
e temperatura do ar
. a) Monte a equação diferencial de balanço de energia. b) Resolva para
. (Resposta:
Passo 1
O enunciado dá uma haste cilíndrica fina (o fato de ser “fina” está indicado por
) com massa por unidade de comprimento
e calor específico
. Inicialmente a haste está à temperatura
. No instante
começa a ser aplicada uma potência por unidade de comprimento
. A perda de calor para o ar ocorre por convecção com coeficiente
e temperatura ambiente
. As perguntas são:
a) montar a equação diferencial de balanço de energia;
b) resolver essa equação para obter .
a) montar a equação diferencial de balanço de energia;
b) resolver essa equação para obter
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
= massa por unidade de comprimento (kg/m). -
= calor específico (J/(kg·K)). -
= potência aplicada por unidade de comprimento (W/m). -
= coeficiente de convecção (W/(m^2·K)). -
= temperatura do ar (K ou °C, desde que consistente). - Bi pequeno (
) — isso será usado para justificar que a temperatura é praticamente uniforme ao longo da seção transversal da haste. - A superfície de troca por unidade de comprimento é o perímetro
da seção: para um cilindro de raio , .
Passo 2
Por que podemos tratar a haste com temperatura uniforme na seção transversal?
- O número de Biot é
(onde é comprimento característico e a condutividade térmica). Quando a resistência térmica interna (condução dentro do corpo) é muito menor que a resistência convectiva na superfície, então a temperatura interna se equaliza rapidamente e podemos assumir que a temperatura é só função do tempo , não da posição no raio. Essa é a chamada hipótese do modelo de capacitância concentrada (lumped capacitance).
Definimos também o perímetro por unidade de comprimento:. A área superficial por unidade de comprimento é .
Passo 3
Escrever o balanço de energia por unidade de comprimento (forma física): taxa de variação da energia interna = potência fornecida menos potência perdida por convecção. Em fórmulas, a energia interna por unidade de comprimento é
, então a taxa de variação é
. A potência fornecida por unidade de comprimento é
. A perda por convecção por unidade de comprimento é
. Portanto o balanço é:
Aqui eu explico cada termo:
-
: aumento de energia térmica por unidade de comprimento (J/(m·s)). -
: energia elétrica (ou outra) entregue por unidade de comprimento (W/m = J/(m·s)). -
: perda por convecção por unidade de comprimento (W/m), já que vezes a área superficial por unidade de comprimento vezes o salto térmico.
Passo 4
Colocamos a equação em forma padrão. Dividindo por
obtemos:
Agora definimos a constante de tempo térmica
Interpretação física de
: é a escala de tempo na qual a haste se ajusta termicamente ao seu equilíbrio; quanto maior
(mais inércia térmica) maior
; quanto maior
(mais perda para o ambiente) menor
. Usando
a equação fica:
Passo 5
Método de solução: é uma equação linear de primeira ordem não homogênea. Uma maneira elegante é primeiro encontrar a solução de regime permanente (tempo grande),
, impondo
. Assim:
Ou seja, no regime permanente a haste fica a
mais um acréscimo proporcional à potência aplicada dividido pela capacidade de resfriamento
.
Passo 6
Para resolver a equação no tempo, defino a variável de desvio em relação ao estado estacionário:
Substituindo na equação diferencial, vemos que
satisfaz a equação homogênea:
porque a parte não homogênea foi removida ao subtrair
. A solução dessa equação é simplesmente exponencial:
O valor inicial é
.
Passo 7
Voltando para
:
Agora substituímos
e rearranjamos para a forma pedida:
Expandindo os termos exponenciais obtemos a forma equivalente
Verificação rápida do valor inicial: em
o termo exponencial vale 1 e a expressão reduz a
. Em
o exponencial some e sobra
, como esperado.
Passo 8
Resumo físico e incentivo: a solução diz que a temperatura parte de
e converge exponencialmente com tempo característico
para o valor estacionário
. Se você achar estranho o termo
, pense nele como o ganho térmico (potência por unidade de comprimento) dividido pela capacidade de resfriamento superficial por unidade de comprimento. Tá indo bem — esse tipo de ODE é padrão em trocas térmicas e cai direto na prova se você reconhecer o modelo lumped capacitance.
Resposta
com
e
(perímetro da seção).