A temperatura de Einstein do alumínio pode ser considerada igual a 290 K. De acordo com a teoria da capacidade calorífica de Einstein, quais são (a) sua energia interna molar a 150 K e (b) sua capacidade calorífica molar, sob condições a volume constante, a 150 K?

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura de Einstein do alumínio é \theta_E=290\\ \text{K}. Queremos, pela teoria de Einstein, (a) a energia interna molar U_m a T=150\\ \text{K} e (b) a capacidade calorífica molar a volume constante C_{V,m} a 150\\ \text{K}. Vamos usar as fórmulas-padrão do modelo de Einstein para sólidos cristalinos.

Passo 2

No modelo de Einstein cada átomo vibra como um oscilador harmônico de frequência \nu_E, com \theta_E = h\nu_E/k. Desprezando a energia de ponto zero, a energia interna molar é
U_m = 3N_A \,\frac{h\nu_E}{e^{h\nu_E/(kT)}-1} = 3R\,\frac{\theta_E}{e^{\theta_E/T}-1}\,,
onde R=N_Ak é a constante dos gases.

Passo 3

Para T=150\\ \text{K} e \theta_E=290\\ \text{K} definimos
x=\frac{\theta_E}{T}=\frac{290}{150}\approx1,9333, \quad e^x\approx e^{1,9333}\approx6,91.
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U_m =3R\,\frac{\theta_E}{e^x-1} =3\cdot8{,}314\;\frac{290}{6{,}91-1} \approx\frac{3\cdot8{,}314\cdot290}{5{,}91} \approx1\,224\\ \text{J/mol}.

Passo 4

A capacidade calorífica molar a volume constante é a derivada C_{V,m}=\mathrm{d}U_m/\mathrm{d}T. No modelo de Einstein obtém-se diretamente
C_{V,m} =3R\;x^2\frac{e^x}{\bigl(e^x-1\bigr)^2}, \quad x=\frac{\theta_E}{T}.

Passo 5

Usando x\approx1,9333, e^x\approx6,91:
C_{V,m} =3\cdot8{,}314\;\frac{(1,9333)^2\times6{,}91}{(6{,}91-1)^2} \approx24{,}942\;\frac{3,738\times6{,}91}{5{,}91^2} \approx24{,}942\times0{,}739 \approx18{,}4\\ \text{J/(mol\cdotK)}.

Resposta

(a) U_m(150\\ \text{K})\approx1{,}22\times10^3\\ \text{J/mol}.
(b) C_{V,m}(150\\ \text{K})\approx18{,}4\\ \text{J/(mol\cdotK)}.

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