Um bloco está apoiado sobre um pistão que se move verticalmente com movimento harmônico simples de período igual a 0,5 \mathrm{~s}. Atuam sobre o bloco o seu peso e a força normal exercida pelo pistão, sendo que o módulo da normal, em seu valor mínimo, é igual a metade do módulo do peso. Qual a amplitude da oscilação? ( 3,2 c m )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Período do movimento harmônico do pistão: T=0,5\\ \mathrm{s}.
  • Sobre o bloco atuam o peso mg para baixo e a força normal N exercida pelo pistão para cima.
  • O valor mínimo da normal é igual à metade do peso: N_{\min}=\dfrac{1}{2}\,mg.
  • Pergunta: qual a amplitude da oscilação do pistão (ou seja, A)?

Passo 2

Vamos entender a relação entre força normal e aceleração do bloco usando a 2ª lei de Newton. Adotando para cima o sinal positivo, a equação de Newton para o bloco que acompanha o pistão é
N - mg = m a,
onde a é a aceleração instantânea do bloco (igual à aceleração do pistão enquanto o bloco fica em contato).
Se o pistão executa um movimento harmônico simples com amplitude A e pulsação \omega, uma escolha conveniente para a posição vertical é
y(t)=A\cos(\omega t),
cuja aceleração é
a(t)=\ddot{y}(t)=-\omega^{2}y(t)=-\omega^{2}A\cos(\omega t).
O módulo máximo da aceleração é A\omega^{2}. Em particular, o instante de menor normal ocorre quando a aceleração é máxima para baixo, isto é, a=-A\omega^{2}. Substituindo esse valor na expressão da normal obtemos
N_{\min}=m\bigl(g - A\omega^{2}\bigr).
Explicando em palavras: quando o pistão acelera para baixo com maior intensidade, a reação normal diminui; o menor valor de N ocorre exatamente quando a aceleração para baixo tem a maior magnitude.

Passo 3

Usamos a condição dada N_{\min}=\dfrac{1}{2}\,mg. Igualando as duas expressões:
m\bigl(g - A\omega^{2}\bigr)=\dfrac{1}{2}\,m g.
Cancelando m e rearranjando:
g - A\omega^{2}=\dfrac{1}{2}\,g \quad\Rightarrow\quad A\omega^{2}=\dfrac{g}{2}.
Logo
A=\dfrac{g}{2\omega^{2}}.

Passo 4

Agora calculamos \omega a partir do período T. Pela definição,
\omega=\dfrac{2\pi}{T}.
Com T=0,5\\ \mathrm{s} temos
\omega=\dfrac{2\pi}{0,5}=4\pi\\ \mathrm{rad/s},
portanto
\omega^{2}=(4\pi)^{2}=16\pi^{2}.
Substituindo em A=\dfrac{g}{2\omega^{2}}:
A=\dfrac{g}{2\cdot 16\pi^{2}}=\dfrac{g}{32\pi^{2}}.

Passo 5

Para obter valor numérico, usa-se g. Se aproximarmos g\approx 10\\ \mathrm{m/s^{2}} (aproximação comum em problemas) temos
A=\dfrac{10}{32\pi^{2}}\\ \mathrm{m}.
Calculemos passo a passo:
\pi^{2}\approx 9{,}8696,\qquad 32\pi^{2}\approx 315{,}827.
Então
A\approx \dfrac{10}{315{,}827}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}03167\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
A\approx 3{,}167\\ \mathrm{cm}\approx 3{,}2\\ \mathrm{cm}.
Observação: se usar g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} obtém-se A\approx 3{,}10\\ \mathrm{cm}, muito próximo. A diferença vem só da aproximação escolhida para g.

Resposta

3,2 cm

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