Um bloco está apoiado sobre um pistão que se move verticalmente com movimento harmônico simples de período igual a
. Atuam sobre o bloco o seu peso e a força normal exercida pelo pistão, sendo que o módulo da normal, em seu valor mínimo, é igual a metade do módulo do peso. Qual a amplitude da oscilação? (
)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Período do movimento harmônico do pistão:
. - Sobre o bloco atuam o peso
para baixo e a força normal exercida pelo pistão para cima. - O valor mínimo da normal é igual à metade do peso:
. - Pergunta: qual a amplitude da oscilação do pistão (ou seja,
)?
Passo 2
Vamos entender a relação entre força normal e aceleração do bloco usando a 2ª lei de Newton. Adotando para cima o sinal positivo, a equação de Newton para o bloco que acompanha o pistão é
onde
é a aceleração instantânea do bloco (igual à aceleração do pistão enquanto o bloco fica em contato).
Se o pistão executa um movimento harmônico simples com amplitude
e pulsação
, uma escolha conveniente para a posição vertical é
cuja aceleração é
O módulo máximo da aceleração é
. Em particular, o instante de menor normal ocorre quando a aceleração é máxima para baixo, isto é,
. Substituindo esse valor na expressão da normal obtemos
Explicando em palavras: quando o pistão acelera para baixo com maior intensidade, a reação normal diminui; o menor valor de
ocorre exatamente quando a aceleração para baixo tem a maior magnitude.
Passo 3
Usamos a condição dada
. Igualando as duas expressões:
Cancelando
e rearranjando:
Logo
Passo 4
Agora calculamos
a partir do período
. Pela definição,
Com
temos
portanto
Substituindo em
:
Passo 5
Para obter valor numérico, usa-se
. Se aproximarmos
(aproximação comum em problemas) temos
Calculemos passo a passo:
Então
Convertendo para centímetros:
Observação: se usar
obtém-se
, muito próximo. A diferença vem só da aproximação escolhida para
.
Resposta
3,2 cm