Considere um movimento, cuja equação horária é dada por
onde
são constantes. Determine:
a) as equações para a velocidade e para a aceleração como função do tempo;
b) a posição, velocidade e aceleração, para
;
c) a velocidade média para o intervalo de tempo delimitado pelos instantes t = 0 e t = 2s.
a) as equações para a velocidade e para a aceleração como função do tempo;
b) a posição, velocidade e aceleração, para
c) a velocidade média para o intervalo de tempo delimitado pelos instantes t = 0 e t = 2s.
Passo 1
O enunciado fornece a equação horária do movimento
com
constantes. As perguntas são:
- (a) Determinar as equações da velocidade e da aceleração como função do tempo.
- (b) Calcular a posição, a velocidade e a aceleração em
. - (c) Calcular a velocidade média no intervalo entre
e .
Passo 2
Conceitos úteis (rapidinho e prático):
- A velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo; matematicamente é a derivada da função posição:
. - A aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; é a segunda derivada da posição:
. - Regra prática para derivar potências:
. Para uma constante , .
Passo 3
Derivando termo a termo para obter a velocidade
.
- A derivada de
é porque é constante. - A derivada de
é (pois ). - A derivada de
é - A derivada de
é
Somando os termos derivados obtemos a velocidade:
Passo 4
Agora derivamos
para obter a aceleração
.
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é
Portanto a aceleração é
Passo 5
Avaliação em
.
- Posição em
: - Velocidade em
: - Aceleração em
:
Passo 6
Velocidade média no intervalo
. Definição:
Calcular
:
Simplificando cada termo:
Então
Subtraindo
e dividindo por
obtemos
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (curtas e úteis):
- Para polinômios, derive termo a termo aplicando a regra
. É rápido e seguro. - Lembre: velocidade média entre dois instantes é sempre variação de posição sobre variação de tempo.
- Se precisar checar, avaliar as expressões em
é uma boa forma de verificar constantes iniciais ( aparecem precisamente em respectivamente).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)