Considere um movimento, cuja equação horária é dada por
\mathrm{s}=\mathrm{k}_{0}+\mathrm{k}_{1} \mathrm{t}+\mathrm{k}_{2} \mathrm{t}^{2} / 2+\mathrm{k}_{3} \mathrm{t}^{3} / 6
onde \mathrm{k}_{0}, \mathrm{k}_{1}, \mathrm{k}_{2} \mathrm{e} \mathrm{k}_{3} são constantes. Determine:
a) as equações para a velocidade e para a aceleração como função do tempo;
b) a posição, velocidade e aceleração, para t=0;
c) a velocidade média para o intervalo de tempo delimitado pelos instantes t = 0 e t = 2s.

Passo 1

O enunciado fornece a equação horária do movimento
\mathrm{s}=\mathrm{k}_{0}+\mathrm{k}_{1}\mathrm{t}+\frac{\mathrm{k}_{2}\mathrm{t}^{2}}{2}+\frac{\mathrm{k}_{3}\mathrm{t}^{3}}{6}
com \mathrm{k}_{0},\mathrm{k}_{1},\mathrm{k}_{2},\mathrm{k}_{3} constantes. As perguntas são:
  • (a) Determinar as equações da velocidade e da aceleração como função do tempo.
  • (b) Calcular a posição, a velocidade e a aceleração em t=0.
  • (c) Calcular a velocidade média no intervalo entre t=0 e t=2\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Conceitos úteis (rapidinho e prático):
  • A velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo; matematicamente é a derivada da função posição: \mathrm{v}(t)=\dfrac{d\mathrm{s}}{d\mathrm{t}}.
  • A aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; é a segunda derivada da posição: \mathrm{a}(t)=\dfrac{d\mathrm{v}}{d\mathrm{t}}=\dfrac{d^{2}\mathrm{s}}{d\mathrm{t}^{2}}.
  • Regra prática para derivar potências: \dfrac{d}{d\mathrm{t}}\bigl(\mathrm{t}^{n}\bigr)=n\,\mathrm{t}^{\,n-1}. Para uma constante \mathrm{C}, \dfrac{d}{d\mathrm{t}}(\mathrm{C}\cdot f(\mathrm{t}))=\mathrm{C}\cdot \dfrac{d}{d\mathrm{t}}f(\mathrm{t}).

Passo 3

Derivando termo a termo para obter a velocidade \mathrm{v}(t)=\dfrac{d\mathrm{s}}{d\mathrm{t}}.
  • A derivada de \mathrm{k}_{0} é 0 porque \mathrm{k}_{0} é constante.
  • A derivada de \mathrm{k}_{1}\mathrm{t} é \mathrm{k}_{1} (pois \dfrac{d}{d\mathrm{t}}(\mathrm{t})=1).
  • A derivada de \dfrac{\mathrm{k}_{2}\mathrm{t}^{2}}{2} é \frac{\mathrm{k}_{2}}{2}\cdot \frac{d}{d\mathrm{t}}(\mathrm{t}^{2})=\frac{\mathrm{k}_{2}}{2}\cdot 2\mathrm{t}=\mathrm{k}_{2}\mathrm{t}.
  • A derivada de \dfrac{\mathrm{k}_{3}\mathrm{t}^{3}}{6} é \frac{\mathrm{k}_{3}}{6}\cdot \frac{d}{d\mathrm{t}}(\mathrm{t}^{3})=\frac{\mathrm{k}_{3}}{6}\cdot 3\mathrm{t}^{2}=\frac{\mathrm{k}_{3}\mathrm{t}^{2}}{2}.
Somando os termos derivados obtemos a velocidade:
\mathrm{v}(\mathrm{t})=\mathrm{k}_{1}+\mathrm{k}_{2}\mathrm{t}+\frac{\mathrm{k}_{3}\mathrm{t}^{2}}{2}.

Passo 4

Agora derivamos \mathrm{v}(t) para obter a aceleração \mathrm{a}(t)=\dfrac{d\mathrm{v}}{d\mathrm{t}}.
  • A derivada de \mathrm{k}_{1} é 0.
  • A derivada de \mathrm{k}_{2}\mathrm{t} é \mathrm{k}_{2}.
  • A derivada de \dfrac{\mathrm{k}_{3}\mathrm{t}^{2}}{2} é \frac{\mathrm{k}_{3}}{2}\cdot \frac{d}{d\mathrm{t}}(\mathrm{t}^{2})=\frac{\mathrm{k}_{3}}{2}\cdot 2\mathrm{t}=\mathrm{k}_{3}\mathrm{t}.
Portanto a aceleração é
\mathrm{a}(\mathrm{t})=\mathrm{k}_{2}+\mathrm{k}_{3}\mathrm{t}.

Passo 5

Avaliação em t=0.
  • Posição em t=0: \mathrm{s}(0)=\mathrm{k}_{0}+\mathrm{k}_{1}\cdot 0+\frac{\mathrm{k}_{2}\cdot 0^{2}}{2}+\frac{\mathrm{k}_{3}\cdot 0^{3}}{6}=\mathrm{k}_{0}.
  • Velocidade em t=0: \mathrm{v}(0)=\mathrm{k}_{1}+\mathrm{k}_{2}\cdot 0+\frac{\mathrm{k}_{3}\cdot 0^{2}}{2}=\mathrm{k}_{1}.
  • Aceleração em t=0: \mathrm{a}(0)=\mathrm{k}_{2}+\mathrm{k}_{3}\cdot 0=\mathrm{k}_{2}.

Passo 6

Velocidade média no intervalo [0,2]. Definição:
\overline{\mathrm{v}}=\frac{\mathrm{s}(2)-\mathrm{s}(0)}{2-0}=\frac{\mathrm{s}(2)-\mathrm{s}(0)}{2}.
Calcular \mathrm{s}(2):
\mathrm{s}(2)=\mathrm{k}_{0}+\mathrm{k}_{1}\cdot 2+\frac{\mathrm{k}_{2}\cdot 2^{2}}{2}+\frac{\mathrm{k}_{3}\cdot 2^{3}}{6}.
Simplificando cada termo:
\mathrm{k}_{1}\cdot 2=2\mathrm{k}_{1},\qquad \frac{\mathrm{k}_{2}\cdot 2^{2}}{2}=\frac{\mathrm{k}_{2}\cdot 4}{2}=2\mathrm{k}_{2},\qquad \frac{\mathrm{k}_{3}\cdot 2^{3}}{6}=\frac{\mathrm{k}_{3}\cdot 8}{6}=\frac{4}{3}\mathrm{k}_{3}.
Então
\mathrm{s}(2)=\mathrm{k}_{0}+2\mathrm{k}_{1}+2\mathrm{k}_{2}+\frac{4}{3}\mathrm{k}_{3}.
Subtraindo \mathrm{s}(0)=\mathrm{k}_{0} e dividindo por 2 obtemos
\overline{\mathrm{v}}=\frac{2\mathrm{k}_{1}+2\mathrm{k}_{2}+\tfrac{4}{3}\mathrm{k}_{3}}{2}=\mathrm{k}_{1}+\mathrm{k}_{2}+\frac{2}{3}\mathrm{k}_{3}.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (curtas e úteis):
  • Para polinômios, derive termo a termo aplicando a regra n\mathrm{t}^{n-1}. É rápido e seguro.
  • Lembre: velocidade média entre dois instantes é sempre variação de posição sobre variação de tempo.
  • Se precisar checar, avaliar as expressões em t=0 é uma boa forma de verificar constantes iniciais ( \mathrm{k}_{0},\mathrm{k}_{1},\mathrm{k}_{2} aparecem precisamente em \mathrm{s}(0),\mathrm{v}(0),\mathrm{a}(0) respectivamente).

Resposta

(a) \mathrm{v}(\mathrm{t})=\mathrm{k}_{1}+\mathrm{k}_{2}\mathrm{t}+\dfrac{\mathrm{k}_{3}\mathrm{t}^{2}}{2},\quad \mathrm{a}(\mathrm{t})=\mathrm{k}_{2}+\mathrm{k}_{3}\mathrm{t}
(b) \mathrm{s}(0)=\mathrm{k}_{0},\quad \mathrm{v}(0)=\mathrm{k}_{1},\quad \mathrm{a}(0)=\mathrm{k}_{2}
(c) \overline{\mathrm{v}}_{[0,2]}=\mathrm{k}_{1}+\mathrm{k}_{2}+\dfrac{2}{3}\mathrm{k}_{3}

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