João de massa igual a 60 kg está inicialmente no extremo direito de um pequeno vagão de 500 kg de massa. No outro extremo está José de massa desconhecida. O vagão está completamente solto sobre os trilhos e tem
de comprimento. Os dois trocam de posição e observam que ao final do processo o vagão se deslocou
para a direita. Qual a massa de José? (40 kg)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
- João tem massa
. - José tem massa desconhecida
(é o que queremos achar). - O vagão tem massa
. - O vagão tem comprimento
e os dois ocupam os extremos opostos do vagão. - Após trocarem de posição, o vagão desloca-se
para a direita, isto é . - Pergunta: determinar
.
Passo 2
Escolho um sistema de referência simples para escrever posições:
- coloco a posição inicial do centro do vagão em
. - então o extremo esquerdo está em
e o extremo direito em . - inicialmente: José está em
e João em . - depois da troca o centro do vagão fica em
(deslocado para a direita), então José fica em e João em .
Definições dos símbolos usados:
-
: massa do vagão. -
: massa de João. -
: massa de José (desconhecida). -
: comprimento do vagão. -
: deslocamento do centro do vagão para a direita. -
: posição do centro de massa do sistema (pessoas + vagão) no referencial fixo do trilho.
Passo 3
Princípio físico usado (explicação didática):
- Como o sistema (vagão + pessoas) não sofre forças horizontais externas importantes (o trilho não exerce força horizontal líquida), a posição do centro de massa do sistema permanece fixa em relação ao solo durante todo o processo.
- Fórmula do centro de massa para um conjunto de massas pontuais (ou massas concentradas no seu centro):
Aqui somamos as massas do vagão (considerada concentrada em seu centro) e das duas pessoas.
Passo 4
Escrevo a posição do centro de massa inicialmente. Com o centro do vagão em
:
Passo 5
Escrevo a posição do centro de massa após a troca. O centro do vagão está em
, e as posições dos pontos são relativas a esse centro:
Faço uma reorganização do numerador:
Passo 6
Como o centro de massa não se move em relação ao solo, imponho
. Igualando as expressões das etapas anteriores:
Subtraindo o segundo termo fracionário do lado direito do primeiro (as denominadores são iguais) obtemos:
Note que
, então o numerador fica
. Assim:
Passo 7
Agora resolvo a equação acima para
. Começo escrevendo:
Distribuo no lado direito:
Reagrupo os termos com
de um lado:
Fatorando
e multiplicando por
:
Logo a fórmula para
é:
Passo 8
Substituo os valores numéricos (uso vírgula para decimais conforme pedido):
Calculo passo a passo:
Então
Passo 9
Interpretação final e motivação prática:
- O resultado
significa que, para que o centro de massa do sistema permaneça fixo quando João (60 kg) e José trocam de ponta num vagão de e comprimento , a massa de José deve ser . - Estratégia geral para questões assim: fixe o centro do vagão inicialmente, escreva as posições dos participantes em relação ao centro, use a conservação da posição do centro de massa e resolva para a massa desconhecida. É um método rápido e robusto para provas.