João de massa igual a 60 kg está inicialmente no extremo direito de um pequeno vagão de 500 kg de massa. No outro extremo está José de massa desconhecida. O vagão está completamente solto sobre os trilhos e tem 3 m de comprimento. Os dois trocam de posição e observam que ao final do processo o vagão se deslocou 10 c m para a direita. Qual a massa de José? (40 kg)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
  • João tem massa m_1 = 60\\ \text{kg}.
  • José tem massa desconhecida m_2 (é o que queremos achar).
  • O vagão tem massa M = 500\\ \text{kg}.
  • O vagão tem comprimento L = 3\\ \mathrm{m} e os dois ocupam os extremos opostos do vagão.
  • Após trocarem de posição, o vagão desloca-se 10\\ \mathrm{cm} para a direita, isto é d = 0,10\\ \mathrm{m}.
  • Pergunta: determinar m_2.

Passo 2

Escolho um sistema de referência simples para escrever posições:
  • coloco a posição inicial do centro do vagão em 0.
  • então o extremo esquerdo está em -\tfrac{L}{2} e o extremo direito em +\tfrac{L}{2}.
  • inicialmente: José está em x_{J0} = -\tfrac{L}{2} e João em x_{Jo0} = +\tfrac{L}{2}.
  • depois da troca o centro do vagão fica em x_{\text{vagão}} = dã (deslocado para a direita), então José fica em x_{Jf} = d + \tfrac{L}{2} e João em x_{Jof} = d - \tfrac{L}{2}.
Definições dos símbolos usados:
  • M: massa do vagão.
  • m_1: massa de João.
  • m_2: massa de José (desconhecida).
  • L: comprimento do vagão.
  • d: deslocamento do centro do vagão para a direita.
  • X_{CM}: posição do centro de massa do sistema (pessoas + vagão) no referencial fixo do trilho.

Passo 3

Princípio físico usado (explicação didática):
  • Como o sistema (vagão + pessoas) não sofre forças horizontais externas importantes (o trilho não exerce força horizontal líquida), a posição do centro de massa do sistema permanece fixa em relação ao solo durante todo o processo.
  • Fórmula do centro de massa para um conjunto de massas pontuais (ou massas concentradas no seu centro): X_{CM} = \frac{\sum_i m_i x_i}{\sum_i m_i}.
Aqui somamos as massas do vagão (considerada concentrada em seu centro) e das duas pessoas.

Passo 4

Escrevo a posição do centro de massa inicialmente. Com o centro do vagão em 0: X_{CM,i} = \frac{M\cdot 0 + m_1\cdot\left(\tfrac{L}{2}\right) + m_2\cdot\left(-\tfrac{L}{2}\right)}{M + m_1 + m_2} = \frac{(m_1 - m_2)\tfrac{L}{2}}{M + m_1 + m_2}.

Passo 5

Escrevo a posição do centro de massa após a troca. O centro do vagão está em d, e as posições dos pontos são relativas a esse centro: X_{CM,f} = \frac{M\cdot d + m_1\cdot\left(d - \tfrac{L}{2}\right) + m_2\cdot\left(d + \tfrac{L}{2}\right)}{M + m_1 + m_2}.
Faço uma reorganização do numerador: X_{CM,f} = \frac{(M + m_1 + m_2)d + (-m_1 + m_2)\tfrac{L}{2}}{M + m_1 + m_2} = d + \frac{(-m_1 + m_2)\tfrac{L}{2}}{M + m_1 + m_2}.

Passo 6

Como o centro de massa não se move em relação ao solo, imponho X_{CM,i} = X_{CM,f}. Igualando as expressões das etapas anteriores: \frac{(m_1 - m_2)\tfrac{L}{2}}{M + m_1 + m_2} = d + \frac{(-m_1 + m_2)\tfrac{L}{2}}{M + m_1 + m_2}.
Subtraindo o segundo termo fracionário do lado direito do primeiro (as denominadores são iguais) obtemos: \frac{(m_1 - m_2)\tfrac{L}{2} - (-m_1 + m_2)\tfrac{L}{2}}{M + m_1 + m_2} = d.
Note que -m_1 + m_2 = -(m_1 - m_2), então o numerador fica (m_1 - m_2)\tfrac{L}{2} + (m_1 - m_2)\tfrac{L}{2} = (m_1 - m_2)L. Assim: \frac{(m_1 - m_2)L}{M + m_1 + m_2} = d.

Passo 7

Agora resolvo a equação acima para m_2. Começo escrevendo: (m_1 - m_2)L = d\,(M + m_1 + m_2).
Distribuo no lado direito: m_1 L - m_2 L = dM + d m_1 + d m_2.
Reagrupo os termos com m_2 de um lado: - m_2 L - d m_2 = dM + d m_1 - m_1 L.
Fatorando m_2 e multiplicando por -1: m_2 (L + d) = m_1(L - d) - dM.
Logo a fórmula para m_2 é: m_2 = \frac{m_1(L - d) - d M}{L + d}.

Passo 8

Substituo os valores numéricos (uso vírgula para decimais conforme pedido): m_1 = 60\\ \text{kg},\quad M = 500\\ \text{kg},\quad L = 3\\ \mathrm{m},\quad d = 0,10\\ \mathrm{m}.
Calculo passo a passo:
m_1(L - d) = 60\cdot(3 - 0,10) = 60\cdot 2,90 = 174.
dM = 0,10\cdot 500 = 50.
\text{numerador} = 174 - 50 = 124.
\text{denominador} = L + d = 3 + 0,10 = 3,10.
Então m_2 = \frac{124}{3,10} = 40.

Passo 9

Interpretação final e motivação prática:
  • O resultado m_2 = 40\\ \text{kg} significa que, para que o centro de massa do sistema permaneça fixo quando João (60 kg) e José trocam de ponta num vagão de 500\\ \text{kg} e comprimento 3\\ \mathrm{m}, a massa de José deve ser 40\\ \text{kg}.
  • Estratégia geral para questões assim: fixe o centro do vagão inicialmente, escreva as posições dos participantes em relação ao centro, use a conservação da posição do centro de massa e resolva para a massa desconhecida. É um método rápido e robusto para provas.

Resposta

40\\ \text{kg}

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