Um bloco cilíndrico de gelo(
, e
) de 2 cm de altura é colocado sobre uma mesa a
. A base do cilindro tem 2 cm de diâmetro. Assumindo h= 13
e desprezando a transferência de calor com a mesa, determine a temperatura inicial do bloco sabendo que nenhum derretimento ocorre até 2 h.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre transferência de calor, especificamente condução térmica e talvez até convecção. O enunciado fala de um bloco cilíndrico de gelo que está sendo colocado sobre uma mesa a 20°C. A gente precisa determinar qual era a temperatura inicial desse bloco de gelo, sabendo que ele não derrete por 2 horas. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades térmicas do gelo e entender como o calor se move através dele.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o problema. Temos um cilindro de gelo com altura de 2 cm e diâmetro de 2 cm. A base está em contato com a mesa, mas o enunciado diz para desconsiderar a transferência de calor com a mesa. Então, o calor está entrando principalmente pela parte superior do gelo e pelas laterais, resfriando o gelo e evitando que ele derreta.
Passo 3
Vamos precisar das seguintes propriedades do gelo:
- Condutividade térmica,
- Difusividade térmica,
E também temos o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície,
Passo 4
Vamos considerar que a transferência de calor ocorre por condução no gelo e por convecção na superfície. A quantidade de calor que entra pelo gelo não deve ser suficiente para derreter, já que não houve derretimento em 2 horas. Isso nos dá uma condição para encontrar a temperatura inicial do gelo.
Passo 5
Primeiro, vamos converter todas as medidas para o Sistema Internacional de Unidades (SI):
- Altura,
- Diâmetro,
- Tempo,
Passo 6
A área pela qual o calor está sendo transferido é a área da superfície superior e das laterais do cilindro. A base não está considerando transferência de calor.
A área da superfície superior,
A área lateral,
Total,
Passo 7
A taxa de transferência de calor por convecção é dada por:
Onde:
-
é a taxa de transferência de calor (W) -
é o coeficiente de transferência de calor (13 W/m²°C) -
é a área de transferência de calor (5π×10⁻⁴ m²) -
é a diferença de temperatura entre o ambiente e o gelo.
Passo 8
A quantidade total de calor que entra no gelo em 2 horas é:
Esse calor deve ser igual ao calor necessário para manter o gelo sem derreter, que depende da capacidade térmica do gelo.
Passo 9
A capacidade térmica do gelo pode ser relacionada à sua energia interna. Porém, como não há derretimento, só precisamos garantir que o calor que entra não fornece energia suficiente para a transição de fase.
Para simplificar, vamos igualar o calor que entra ao calor que o gelo pode absorver sem derreter, relacionada à sua massa e capacidade térmica específica.
Onde:
-
é a massa do gelo -
é a capacidade térmica específica do gelo (aproximadamente 2.1 kJ/kg°C) -
é a variação de temperatura do gelo.
Passo 10
Primeiro, vamos calcular a massa do gelo. Assumindo que o gelo está a 0°C inicialmente (para simplificar):
Onde
é a densidade do gelo (~917 kg/m³) e
é o volume.
Passo 11
Agora, igualando os calores:
Queremos que nenhum derretimento ocorra, então
, o que implica que todo o calor transferido deve ser utilizado para manter a temperatura do gelo estável. Portanto, a temperatura inicial do gelo deve ser igual à temperatura ambiente para não haver transferência líquida de calor. Porém, isso contraria a necessidade de determinar uma temperatura inicial.
Alternativamente, considerando que o gelo está abaixo de 0°C, podemos calcular a temperatura inicial necessária para que o calor transferido não aumente sua temperatura até 0°C em 2 horas.
Passo 12
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 13
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
Denominador:
Então,
Resposta
A temperatura inicial do bloco de gelo era aproximadamente
.