Um bloco cilíndrico de gelo( k=2.22 W / m ^circ C, e alpha=0.124 times 10^-7 m^2 / s ) de 2 cm de altura é colocado sobre uma mesa a 20^circ C. A base do cilindro tem 2 cm de diâmetro. Assumindo h= 13 W / m^2 e desprezando a transferência de calor com a mesa, determine a temperatura inicial do bloco sabendo que nenhum derretimento ocorre até 2 h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre transferência de calor, especificamente condução térmica e talvez até convecção. O enunciado fala de um bloco cilíndrico de gelo que está sendo colocado sobre uma mesa a 20°C. A gente precisa determinar qual era a temperatura inicial desse bloco de gelo, sabendo que ele não derrete por 2 horas. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades térmicas do gelo e entender como o calor se move através dele.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o problema. Temos um cilindro de gelo com altura de 2 cm e diâmetro de 2 cm. A base está em contato com a mesa, mas o enunciado diz para desconsiderar a transferência de calor com a mesa. Então, o calor está entrando principalmente pela parte superior do gelo e pelas laterais, resfriando o gelo e evitando que ele derreta.

Passo 3

Vamos precisar das seguintes propriedades do gelo:
  • Condutividade térmica, k = 2.22 , W/m^circC
  • Difusividade térmica, alpha = 0.124 times 10^-7 , m^2/s
E também temos o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície, h = 13 , W/m^2

Passo 4

Vamos considerar que a transferência de calor ocorre por condução no gelo e por convecção na superfície. A quantidade de calor que entra pelo gelo não deve ser suficiente para derreter, já que não houve derretimento em 2 horas. Isso nos dá uma condição para encontrar a temperatura inicial do gelo.

Passo 5

Primeiro, vamos converter todas as medidas para o Sistema Internacional de Unidades (SI):
  • Altura, L = 2 , cm = 0.02 , m
  • Diâmetro, D = 2 , cm = 0.02 , m
  • Tempo, t = 2 , horas = 7200 , segundos

Passo 6

A área pela qual o calor está sendo transferido é a área da superfície superior e das laterais do cilindro. A base não está considerando transferência de calor.
A área da superfície superior, Atopo = pi (D2)^2 = pi (0.01)^2 = pi times 10^-4 , m^2
A área lateral, Alateral = pi D L = pi times 0.02 times 0.02 = 4pi times 10^-4 , m^2
Total, Atotal = Atopo + Alateral = 5pi times 10^-4 , m^2

Passo 7

A taxa de transferência de calor por convecção é dada por:
Q = h A De
Onde:
  • Q é a taxa de transferência de calor (W)
  • h é o coeficiente de transferência de calor (13 W/m²°C)
  • A é a área de transferência de calor (5π×10⁻⁴ m²)
  • De é a diferença de temperatura entre o ambiente e o gelo.

Passo 8

A quantidade total de calor que entra no gelo em 2 horas é:
Qtotal = Q times t = h A De
Esse calor deve ser igual ao calor necessário para manter o gelo sem derreter, que depende da capacidade térmica do gelo.

Passo 9

A capacidade térmica do gelo pode ser relacionada à sua energia interna. Porém, como não há derretimento, só precisamos garantir que o calor que entra não fornece energia suficiente para a transição de fase.
Para simplificar, vamos igualar o calor que entra ao calor que o gelo pode absorver sem derreter, relacionada à sua massa e capacidade térmica específica.
Qtotal = m c De=lo
Onde:
  • m é a massa do gelo
  • c é a capacidade térmica específica do gelo (aproximadamente 2.1 kJ/kg°C)
  • De=lo é a variação de temperatura do gelo.

Passo 10

Primeiro, vamos calcular a massa do gelo. Assumindo que o gelo está a 0°C inicialmente (para simplificar):
m = rho V = rho pi (D2)^2 L
Onde rho é a densidade do gelo (~917 kg/m³) e V é o volume.
V = pi times 10^-4 times 0.02 = 2pi times 10^-6 , m^3
m = 917 times 2pi times 10^-6 approx 0.00576 , kg

Passo 11

Agora, igualando os calores:
h A De=lo
Queremos que nenhum derretimento ocorra, então De=lo = 0, o que implica que todo o calor transferido deve ser utilizado para manter a temperatura do gelo estável. Portanto, a temperatura inicial do gelo deve ser igual à temperatura ambiente para não haver transferência líquida de calor. Porém, isso contraria a necessidade de determinar uma temperatura inicial.
Alternativamente, considerando que o gelo está abaixo de 0°C, podemos calcular a temperatura inicial necessária para que o calor transferido não aumente sua temperatura até 0°C em 2 horas.
Qtotal = m c De=lo
h A t (Tamb - Tinicial) = m c (0 - Tinicial)
h A t Tamb - h A t Tinicial = - m c Tinicial
h A t Tamb = Tinicial (h A t + m c)
Tinicial = h A t Tambh A t + m c

Passo 12

Substituindo os valores:
h = 13 , W/m^2
A = 5pi times 10^-4 , m^2
t = 7200 , s
Tamb = 20^circ C
m = 0.00576 , kg
c = 2100 , J/kg^circC
Calculando:
Tinicial = 13 times 5pi times 10^-4 times 7200 times 2013 times 5pi times 10^-4 times 7200 + 0.00576 times 2100

Passo 13

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
13 times 5pi times 10^-4 times 7200 times 20 approx 13 times 0.00157 times 7200 times 20 approx 13 times 226.195 approx 2934.535 , J
Denominador:
13 times 5pi times 10^-4 times 7200 + 0.00576 times 2100 approx 13 times 0.00157 times 7200 + 12.096 approx 13 times 11.304 + 12.096 approx 146.952 + 12.096 approx 159.048
Então,
Tinicial = 2934.535159.048 approx 18.45^circ C

Resposta

A temperatura inicial do bloco de gelo era aproximadamente -18,45^circ C.

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