Uma salsicha de cachorro-quente pode ser considerada um cilindro de 5 in de comprimento e 0.8 in de diâmetro cujas propriedades são
,
,
, e
. A salsicha está inicialmente a
e é colocada em água a
. Assumindo
, determine a temperatura no centro da salsicha após, 15 minutos tratando a salsicha como um cilindro finito.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma salsicha de cachorro-quente que é modelada como um cilindro com 5 polegadas de comprimento e 0,8 polegadas de diâmetro. A salsicha está inicialmente a 40 °F e é colocada em água fervente a 212 °F. Queremos descobrir qual será a temperatura no centro da salsicha após 15 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução de calor em cilindros finitos.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema internacional para facilitar os cálculos. Sabemos que:
Então:
- Comprimento da salsicha:
- Diâmetro da salsicha:
- Tempo:
Passo 3
Vamos calcular o raio da salsicha, já que o diâmetro é 0,0666 ft:
Passo 4
Agora, vamos determinar o número de Biot (
) para verificar se podemos simplificar nosso cálculo usando o método de capacitância lumped. O número de Biot é dado por:
Onde:
-
(coeficiente de transferência de calor) -
é o comprimento característico. Para um cilindro, podemos usar o raio:
-
(condutividade térmica)
Calculando:
Como
, não podemos usar o método de capacitância lumped e precisamos considerar a condução de calor em um cilindro finito.
Passo 5
Vamos usar a solução geral para a temperatura no centro de um cilindro finito durante resfriamento ou aquecimento. A fórmula para a temperatura no centro é:
Onde:
-
é a temperatura no centro no tempo -
(temperatura da água) -
(temperatura inicial da salsicha) -
(difusividade térmica) -
(tempo)
Passo 6
Para simplificar, vamos considerar apenas os primeiros termos da série, já que os termos seguintes contribuem menos para a soma. Vamos calcular até
:
Passo 7
Vamos calcular os expoentes:
Para
:
Para
:
Os termos para
tornam-se extremamente pequenos e podem ser desconsiderados.
Passo 8
Substituindo os valores na equação:
Como
é praticamente zero.
Calculando
Então:
Passo 9
Agora, isolando
:
Resposta
A temperatura no centro da salsicha após 15 minutos é aproximadamente
.