Uma salsicha de cachorro-quente pode ser considerada um cilindro de 5 in de comprimento e 0.8 in de diâmetro cujas propriedades são rho=61.2 lbm / ft^3, Cp=0.93 Btu / lb ^circ F, k=0.44 Btu / h ft ^circ F, e alpha=0.0077 ft^2 / h. A salsicha está inicialmente a 40^circ F e é colocada em água a 212^circ F. Assumindo h=120 Btu / h ft ^2 F, determine a temperatura no centro da salsicha após, 15 minutos tratando a salsicha como um cilindro finito.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma salsicha de cachorro-quente que é modelada como um cilindro com 5 polegadas de comprimento e 0,8 polegadas de diâmetro. A salsicha está inicialmente a 40 °F e é colocada em água fervente a 212 °F. Queremos descobrir qual será a temperatura no centro da salsicha após 15 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução de calor em cilindros finitos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema internacional para facilitar os cálculos. Sabemos que:
  • 1 po<=gada = 0,0833 pésé
  • 15 minutos = 0,25 horas
Então:
  • Comprimento da salsicha: 5 in times 0,0833 ftin = 0,4165 ft
  • Diâmetro da salsicha: 0,8 in times 0,0833 ftin = 0,0666 ft
  • Tempo: 15 minutos = 0,25 horas

Passo 3

Vamos calcular o raio da salsicha, já que o diâmetro é 0,0666 ft:
r = d2 = 0,06662 = 0,0333 ft

Passo 4

Agora, vamos determinar o número de Biot ( Bi) para verificar se podemos simplificar nosso cálculo usando o método de capacitância lumped. O número de Biot é dado por:
Bi = hLck
Onde:
  • h = 120 Btu/(hcdot ft^2 cdot °F) (coeficiente de transferência de calor)
  • Lc = VA é o comprimento característico. Para um cilindro, podemos usar o raio:
Lc = r = 0,0333 ft
  • k = 0,44 Btu/(h cdot ft cdot °F) (condutividade térmica)
Calculando:
Bi = 120 times 0,03330,44 approx 9,09
Como Bi > 0,1, não podemos usar o método de capacitância lumped e precisamos considerar a condução de calor em um cilindro finito.

Passo 5

Vamos usar a solução geral para a temperatura no centro de um cilindro finito durante resfriamento ou aquecimento. A fórmula para a temperatura no centro é:
T(0,t) - TinftyTi - Tinfty = 4pi sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 exp[ -((2n + 1)^2 pi^2 alpha t4 Lc^2) ]
Onde:
  • T(0,t) é a temperatura no centro no tempo t
  • Tinfty = 212°F (temperatura da água)
  • Ti = 40°F (temperatura inicial da salsicha)
  • alpha = 0,0077 ft^2/h (difusividade térmica)
  • t = 0,25 h (tempo)

Passo 6

Para simplificar, vamos considerar apenas os primeiros termos da série, já que os termos seguintes contribuem menos para a soma. Vamos calcular até n=1:
T(0,t) - 21240 - 212 approx 4pi [ 11 e^-(1^2 pi^2 times 0,0077 times 0,254 times 0,0333^2) - 13 e^-(3^2 pi^2 times 0,0077 times 0,254 times 0,0333^2) ]

Passo 7

Vamos calcular os expoentes:
Para n=0:
-(1^2 pi^2 times 0,0077 times 0,254 times 0,0333^2) approx -(9,8696 times 0,0077 times 0,254 times 0,001109) approx -(0,019110,004436) approx -4,307
Para n=1:
-(3^2 pi^2 times 0,0077 times 0,254 times 0,0333^2) approx -(88,8264 times 0,0077 times 0,254 times 0,001109) approx -(0,17030,004436) approx -38,43
Os termos para n >= 1 tornam-se extremamente pequenos e podem ser desconsiderados.

Passo 8

Substituindo os valores na equação:
T(0,t) - 21240 - 212 approx 4pi [ 1 times e^-4,307 - 13 times e^-38,43 ] approx 4pi [ e^-4,307 ]
Como e^-38,43 é praticamente zero.
Calculando e^-4,307 approx 0,0134
Então:
T(0,t) - 212-172 approx 4pi times 0,0134 approx 0,05363,1416 approx 0,0171

Passo 9

Agora, isolando T(0,t):
T(0,t) - 212 approx 0,0171 times (-172) approx -2,94
T(0,t) approx 212 - 2,94 approx 209,06°F

Resposta

A temperatura no centro da salsicha após 15 minutos é aproximadamente 209,06°F.

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