Uma salsicha de cachorro-quente pode ser considerada um cilindro de 5 in de comprimento e 0.8 in de diâmetro cujas propriedades são rho=61.2 lbm / ft^3, Cp=0.93 Btu / lb ^circ F, k=0.44 Btu / h ft ^circ F, e alpha=0.0077 ft^2 / h. A salsicha está inicialmente a 40^circ F e é colocada em água a 212^circ F. Assumindo h=120 Btu / h ft ^2 F, determine a temperatura no centro da salsicha após, 5 minutos tratando a salsicha como um cilindro finito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma salsicha de cachorro-quente que a gente vai modelar como um cilindro finito. A gente precisa descobrir qual a temperatura no centro da salsicha depois de 5 minutos, quando ela é colocada em água quente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especialmente condução de calor em cilindros, e também algumas propriedades térmicas do material da salsicha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões e propriedades da salsicha:
  • Comprimento (L): 5 polegadas
  • Diâmetro (D): 0,8 polegadas
  • Densidade (ρ): 61,2 lbm/ft³
  • Capacidade térmica específica (Cₚ): 0,93 Btu/lbm·°F
  • Condutividade térmica (k): 0,44 Btu/h·ft·°F
  • Difusividade térmica (α): 0,0077 ft²/h
  • Convecção (h): 120 Btu/h·ft²·°F
  • Temperatura inicial da salsicha (T₀): 40 °F
  • Temperatura da água (T_inf): 212 °F
Vamos precisar converter todas as medidas para unidades consistentes. Como algumas propriedades já estão em pés e outras em polegadas, vamos converter o diâmetro e o comprimento para pés.
  • Comprimento (L): 5 polegadas = 5 / 12 ≈ 0,4167 pés
  • Diâmetro (D): 0,8 polegadas = 0,8 / 12 ≈ 0,0667 pés
  • Raio ®: D / 2 ≈ 0,0333 pés

Passo 3

Agora, vamos calcular o Número de Biot (Bi), que nos ajuda a decidir se podemos usar o método de capacidade térmica concentrada (ou lumped capacitance method). O número de Biot é dado por:
Bi = h Lck
Onde $ L_c $ é o comprimento característico. Para um cilindro, geralmente usamos o raio.
Calculando:
Lc
Lc = r = 0,0333 , ft
Como Bi > 0,1, o método lumped não é adequado. Isso significa que precisamos considerar a condução de calor dentro do cilindro de forma mais detalhada, usando a solução para cilindros finitos.

Passo 4

Vamos usar a fórmula para a temperatura no centro de um cilindro finito submetido a resfriamento por convecção:
T(0,t) - TinftyTi - Tinfty = 1 - 8pi^2 exp(-alpha pi^2 tL^2)
Onde:
  • $ T(0,t) $ é a temperatura no centro no tempo t
  • $ T_{\infty} $ é a temperatura da água
  • $ T_i $ é a temperatura inicial da salsicha
  • $ \alpha $ é a difusividade térmica
  • $ L $ é o comprimento característico (metade do comprimento total para cilindros finitos)
Primeiro, precisamos determinar $ L $. Para um cilindro fino, $ L = \frac{Comprimento}{2} = \frac{0,4167}{2} ≈ 0,2083 , ft $.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
T(0,5) - 21240 - 212 = 1 - 8pi^2 exp(-0,0077 times pi^2 times 50,2083^2)
Calculando o expoente:
0,0077 times pi^2 times 50,2083^2 approx 0,0077 times 9,8696 times 50,0434 approx 0,3800,0434 approx 8,76
Agora, calculando a exponencial:
exp(-8,76) approx 0,000156
Substituindo de volta:
T(0,5) - 212-172 = 1 - 89,8696 times 0,000156
T(0,5) - 212-172 approx 1 - 0,081 times 0,000156
T(0,5) - 212-172 approx 1 - 0,0000127
T(0,5) - 212-172 approx 0,9999873
Multiplicando ambos os lados por -172:
T(0,5) - 212 approx -172 times 0,9999873
T(0,5) - 212 approx -171,997
T(0,5) approx 212 - 171,997
T(0,5) approx 40,003 , °F

Resposta

Após 5 minutos, a temperatura no centro da salsicha é aproximadamente 40,0 °F.

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