Uma salsicha de cachorro-quente pode ser considerada um cilindro de 5 in de comprimento e 0.8 in de diâmetro cujas propriedades são
,
,
, e
. A salsicha está inicialmente a
e é colocada em água a
. Assumindo
, determine a temperatura no centro da salsicha após, 5 minutos tratando a salsicha como um cilindro finito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma salsicha de cachorro-quente que a gente vai modelar como um cilindro finito. A gente precisa descobrir qual a temperatura no centro da salsicha depois de 5 minutos, quando ela é colocada em água quente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especialmente condução de calor em cilindros, e também algumas propriedades térmicas do material da salsicha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões e propriedades da salsicha:
- Comprimento (L): 5 polegadas
- Diâmetro (D): 0,8 polegadas
- Densidade (ρ): 61,2 lbm/ft³
- Capacidade térmica específica (Cₚ): 0,93 Btu/lbm·°F
- Condutividade térmica (k): 0,44 Btu/h·ft·°F
- Difusividade térmica (α): 0,0077 ft²/h
- Convecção (h): 120 Btu/h·ft²·°F
- Temperatura inicial da salsicha (T₀): 40 °F
- Temperatura da água (T_inf): 212 °F
Vamos precisar converter todas as medidas para unidades consistentes. Como algumas propriedades já estão em pés e outras em polegadas, vamos converter o diâmetro e o comprimento para pés.
- Comprimento (L): 5 polegadas = 5 / 12 ≈ 0,4167 pés
- Diâmetro (D): 0,8 polegadas = 0,8 / 12 ≈ 0,0667 pés
- Raio ®: D / 2 ≈ 0,0333 pés
Passo 3
Agora, vamos calcular o Número de Biot (Bi), que nos ajuda a decidir se podemos usar o método de capacidade térmica concentrada (ou lumped capacitance method). O número de Biot é dado por:
Onde $ L_c $ é o comprimento característico. Para um cilindro, geralmente usamos o raio.
Calculando:
Como Bi > 0,1, o método lumped não é adequado. Isso significa que precisamos considerar a condução de calor dentro do cilindro de forma mais detalhada, usando a solução para cilindros finitos.
Passo 4
Vamos usar a fórmula para a temperatura no centro de um cilindro finito submetido a resfriamento por convecção:
Onde:
- $ T(0,t) $ é a temperatura no centro no tempo t
- $ T_{\infty} $ é a temperatura da água
- $ T_i $ é a temperatura inicial da salsicha
- $ \alpha $ é a difusividade térmica
- $ L $ é o comprimento característico (metade do comprimento total para cilindros finitos)
Primeiro, precisamos determinar $ L $. Para um cilindro fino, $ L = \frac{Comprimento}{2} = \frac{0,4167}{2} ≈ 0,2083 , ft $.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
Calculando o expoente:
Agora, calculando a exponencial:
Substituindo de volta:
Multiplicando ambos os lados por -172:
Resposta
Após 5 minutos, a temperatura no centro da salsicha é aproximadamente 40,0 °F.