Um bloco é colocado sobre um plano inclinado cujo ângulo de inclinação \theta pode ser ajustado. Os coeficientes de atrito entre o bloco e o plano são \mu_{e} e \mu_{c}.
(a) Mostre que o ângulo máximo \theta_{\text {max }} para o qual o bloco permanece em repouso satisfaz a relação \tan \left(\theta_{\text {max }}\right)=\mu_{e}.
(b) Se \mu_{e}=0,50 e o ângulo for ajustado para 45^{\circ}, determine a expressão para a aceleração do bloco em função de g, \theta e \mu_{c}.

Passo 1

O enunciado dá um bloco sobre um plano inclinado com ângulo ajustável \theta e coeficientes de atrito estático e cinético \mu_{e} e \mu_{c}. As perguntas são:
  • (a) Mostrar que o ângulo máximo \theta_{\text{max}} para o qual o bloco permanece em repouso satisfaz \tan\!\bigl(\theta_{\text{max}}\bigr)=\mu_{e}.
  • (b) Dado \mu_{e}=0{,}50 e o ângulo ajustado para 45^\circ, determinar a expressão para a aceleração do bloco em função de g, \theta e \mu_{c}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Massa do bloco: m (não numerada; ficará como símbolo).
  • Aceleração da gravidade: g.
  • Coeficiente de atrito estático: \mu_{e}.
  • Coeficiente de atrito cinético: \mu_{c}.
  • Para (b): \mu_{e}=0{,}50 e \theta é ajustado para 45^\circ.

Passo 2

Desenho mental (diagrama de corpo livre) e escolha de eixos. Forças atuantes no bloco:
  • Peso: \vec{P}=m\vec{g} apontando vertical para baixo.
  • Força normal: N perpendicular ao plano, para fora do plano.
  • Força de atrito: f tangente ao plano, sempre no sentido que se opõe ao movimento relativo (ou à tendência de movimento).
Escolho um sistema de coordenadas com eixo x ao longo do plano (positivo para baixo ao longo do plano) e eixo y perpendicular ao plano (positivo para fora do plano). Vou decompor o peso nas componentes nessas direções.

Passo 3

Componentes do peso nas direções escolhidas. A componente do peso ao longo do plano (para baixo) é
m g \sin\theta,
e a componente normal (perpendicular ao plano) é
m g \cos\theta.
A normal N equilibra a componente perpendicular do peso, então da segunda lei em y (sem aceleração nessa direção):
N - m g \cos\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad N = m g \cos\theta.
Explicação: a normal surge para cancelar a componente perpendicular do peso; não depende do atrito.

Passo 4

Estabilidade (atrio estático) e a condição para repouso. Enquanto o bloco não desliza, a força de atrito estático f ajusta-se até um máximo f_{\max}=\mu_{e}N. Na direção ao longo do plano, para que o bloco permaneça em repouso a soma das forças deve ser zero:
\text{soma das forças em }x:\quad m g \sin\theta - f = 0 \quad\Rightarrow\quad f = m g \sin\theta.ç
Mas como f não pode exceder \mu_{e}N, deve valer
m g \sin\theta \le \mu_{e} N.
Substituindo N = m g \cos\theta obtém-se
m g \sin\theta \le \mu_{e} m g \cos\theta.
Cancelando m g (positivo) dos dois lados:
\sin\theta \le \mu_{e}\cos\theta.
Dividindo por \cos\theta (assumindo \theta diferente de 90^\circ):
\tan\theta \le \mu_{e}.
A igualdade dá o ângulo máximo \theta_{\text{max}} em que ainda existe uma força de atrito estático capaz de impedir o deslizamento:
\tan\!\bigl(\theta_{\text{max}}\bigr)=\mu_{e}.
Isto responde à parte (a). Interpretação prática: se \theta>\theta_{\text{max}} a componente paralela do peso ultrapassa o atrito estático máximo e o bloco começa a deslizar.

Passo 5

Aplicando ao caso numérico e preparando a parte (b). Com \mu_{e}=0{,}50 tem-se
\theta_{\text{max}}=\arctan(0{,}50)\approx 26{,}57^\circ.
Como o ângulo foi ajustado para 45^\circ (maior que 26{,}57^\circ), o bloco não permanece em repouso: ele começa a deslizar para baixo. Quando o bloco desliza usa-se o coeficiente de atrito cinético \mu_{c}. A força de atrito cinético tem intensidade
f_{k}=\mu_{c}N=\mu_{c}m g \cos\theta
e age para cima ao longo do plano (oposta ao movimento).

Passo 6

Cálculo da aceleração usando a segunda lei ao longo do plano. Força resultante para baixo ao longo do plano:
F_{\text{res}}=m g \sin\theta - f_{k}=m g \sin\theta - \mu_{c} m g \cos\theta.
Pela segunda lei, F_{\text{res}}=m a. Cancelando m:
a = g\bigl(\sin\theta - \mu_{c}\cos\theta\bigr).
Interpretação: se \sin\theta>\mu_{c}\cos\theta então a>0 e o bloco acelera para baixo; se a expressão for negativa, a tendência seria de movimento para cima (o que não ocorre aqui porque o bloco veio a deslizar para baixo), e se igual a zero o bloco desceria com velocidade constante.
Para o caso específico \theta=45^\circ pode-se escrever explicitamente
a = g\bigl(\sin45^\circ - \mu_{c}\cos45^\circ\bigr) = g\,\frac{\sqrt{2}}{2}\bigl(1-\mu_{c}\bigr).

Resposta

(a) \tan\!\bigl(\theta_{\text{max}}\bigr)=\mu_{e}
(b) a = g\bigl(\sin\theta - \mu_{c}\cos\theta\bigr)

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