Um bloco é colocado sobre um plano inclinado cujo ângulo de inclinação
pode ser ajustado. Os coeficientes de atrito entre o bloco e o plano são
e
.
(a) Mostre que o ângulo máximo
para o qual o bloco permanece em repouso satisfaz a relação
.
(b) Se
e o ângulo for ajustado para
, determine a expressão para a aceleração do bloco em função de
e
.
(a) Mostre que o ângulo máximo
(b) Se
Passo 1
O enunciado dá um bloco sobre um plano inclinado com ângulo ajustável
e coeficientes de atrito estático e cinético
e
. As perguntas são:
- (a) Mostrar que o ângulo máximo
para o qual o bloco permanece em repouso satisfaz . - (b) Dado
e o ângulo ajustado para , determinar a expressão para a aceleração do bloco em função de , e .
Informações relevantes fornecidas:
- Massa do bloco:
(não numerada; ficará como símbolo). - Aceleração da gravidade:
. - Coeficiente de atrito estático:
. - Coeficiente de atrito cinético:
. - Para (b):
e é ajustado para .
Passo 2
Desenho mental (diagrama de corpo livre) e escolha de eixos. Forças atuantes no bloco:
- Peso:
apontando vertical para baixo. - Força normal:
perpendicular ao plano, para fora do plano. - Força de atrito:
tangente ao plano, sempre no sentido que se opõe ao movimento relativo (ou à tendência de movimento).
Escolho um sistema de coordenadas com eixo
ao longo do plano (positivo para baixo ao longo do plano) e eixo
perpendicular ao plano (positivo para fora do plano). Vou decompor o peso nas componentes nessas direções.
Passo 3
Componentes do peso nas direções escolhidas. A componente do peso ao longo do plano (para baixo) é
e a componente normal (perpendicular ao plano) é
A normal
equilibra a componente perpendicular do peso, então da segunda lei em
(sem aceleração nessa direção):
Explicação: a normal surge para cancelar a componente perpendicular do peso; não depende do atrito.
Passo 4
Estabilidade (atrio estático) e a condição para repouso. Enquanto o bloco não desliza, a força de atrito estático
ajusta-se até um máximo
. Na direção ao longo do plano, para que o bloco permaneça em repouso a soma das forças deve ser zero:
Mas como
não pode exceder
, deve valer
Substituindo
obtém-se
Cancelando
(positivo) dos dois lados:
Dividindo por
(assumindo
diferente de
):
A igualdade dá o ângulo máximo
em que ainda existe uma força de atrito estático capaz de impedir o deslizamento:
Isto responde à parte (a). Interpretação prática: se
a componente paralela do peso ultrapassa o atrito estático máximo e o bloco começa a deslizar.
Passo 5
Aplicando ao caso numérico e preparando a parte (b). Com
tem-se
Como o ângulo foi ajustado para
(maior que
), o bloco não permanece em repouso: ele começa a deslizar para baixo. Quando o bloco desliza usa-se o coeficiente de atrito cinético
. A força de atrito cinético tem intensidade
e age para cima ao longo do plano (oposta ao movimento).
Passo 6
Cálculo da aceleração usando a segunda lei ao longo do plano. Força resultante para baixo ao longo do plano:
Pela segunda lei,
. Cancelando
:
Interpretação: se
então
e o bloco acelera para baixo; se a expressão for negativa, a tendência seria de movimento para cima (o que não ocorre aqui porque o bloco veio a deslizar para baixo), e se igual a zero o bloco desceria com velocidade constante.
Para o caso específico
pode-se escrever explicitamente
Resposta
(a)
(b)
(b)