O bloco começa a deslizar sobre o plano quando \theta=35^{\circ}. Deternine e calcule o coeficiente de atrito estático \mu, entre o plano e o bloco.

Passo 1

O enunciado dá a informação de que o bloco começa a deslizar quando \theta=35^\circ. A pergunta é: determinar e calcular o coeficiente de atrito estático \mu entre o plano e o bloco.
Informações relevantes fornecidas:
  • Ângulo do plano inclinado no instante em que o bloco começa a deslizar: \theta=35^\circ.
  • Pede-se o coeficiente de atrito estático \mu (valor numérico, adimensional).

Passo 2

Desenho mental das forças (diagrama de corpo livre) e decomposição do peso.
Forças que atuam no bloco:
  • Peso: força \,mg\, apontando vertical para baixo.
  • Força normal: \,N\,, perpendicular à superfície do plano, empurra o bloco pra fora do plano.
  • Força de atrito estático: \,f_s\,, tangente ao plano, que impede o deslizamento.
Para analisar, escolhe-se um sistema de eixos:
  • Eixo x ao longo do plano (positiva para baixo, no sentido em que o bloco tende a deslizar).
  • Eixo y perpendicular ao plano (positiva para fora do plano).
Decompondo o peso em componentes nessas direções:
\text{componente ao longo do plano: } mg\sin\theta,
\text{componente perpendicular ao plano: } mg\cos\theta.
Explicação rápida: a componente paralela aparece por projeção do vetor peso sobre o eixo paralelo ao plano; a componente perpendicular é a projeção sobre o eixo normal.

Passo 3

Equilíbrio na direção perpendicular ao plano (eixo y).
O bloco, mesmo no instante em que começa a deslizar, não se separa nem afunda no plano, portanto a soma das forças na direção y é zero:
N - mg\cos\theta = 0.
Dessa igualdade segue
N = mg\cos\theta.
Aqui N é a força normal: quanto maior a inclinação, menor N, porque parte do peso fica na direção paralela ao plano.

Passo 4

Equilíbrio na direção ao longo do plano (eixo x) no limite do deslizamento e relação com o atrito estático.
A força que tende a puxar o bloco para baixo do plano é mg\sin\theta. A força que resiste é a força de atrito estático máxima \,f_{s,\max}. No instante em que o bloco começa a deslizar, a força de atrito estático alcança seu valor máximo e fica em equilíbrio com a componente do peso:
f_{s,\max} = mg\sin\theta.
A expressão para a força de atrito estático máxima é
f_{s,\max} = \mu_s N,
onde \mu_s é o coeficiente de atrito estático (é exatamente o que queremos). Substituindo N da equação do passo anterior:
\mu_s (mg\cos\theta) = mg\sin\theta.
Cancelando mg dos dois lados (não nulo) obtém-se a relação simples
\mu_s = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Reconhece-se o quociente seno sobre cosseno como a função tangente, portanto
\mu_s = \tan\theta.
Comentário didático: essa é uma fórmula muito útil em provas rápidas — quando um bloco começa a deslizar em um plano inclinado sem outras forças, o coeficiente de atrito estático é simplesmente \tan do ângulo crítico.

Passo 5

Substituição numérica para \theta=35^\circ.
Aplicando a fórmula obtida:
\mu = \tan 35^\circ.
Calculando numericamente (aproximação):
\tan 35^\circ \approx 0,700.
Observação: \mu é adimensional e costuma ser arredondado de acordo com o nível de precisão exigido; aqui foi dado com três algarismos significativos.

Resposta

\mu=\tan 35^\circ \approx 0,700

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