Devido ao atrito cinético, o bloco adquire uma aceleraçāo com módulo igual a 2,5 \mathrm{~ms}^{-2}. Determine o coeficiente de atrito cinético \mu_{c} entre o plano e o bloco.

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • Aceleração (módulo) do bloco: a = 2,5\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o coeficiente de atrito cinético \mu_{c} entre o plano e o bloco.
Informações faltantes (importante):
  • O enunciado não informa o ângulo do plano inclinado \theta. Sem essa informação não é possível obter um valor numérico único para \mu_{c}. Vou, portanto, montar a relação entre \mu_{c} e \theta e explicar passo a passo como obter \mu_{c} se \theta for conhecido.

Passo 2

Entendendo as forças (diagrama livre, muito importante):
  • Considere o bloco de massa m sobre um plano inclinado que faz ângulo \theta com a horizontal.
  • Forças atuantes:
    • Peso: m g (vertical para baixo). Aqui g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9,8\\ \mathrm{m\,s^{-2}}, se for pedido usar valor numérico).
    • Força normal: N, perpendicular ao plano.
    • Força de atrito cinético: f_{k}=\mu_{c}N, tangente ao plano e sempre no sentido que se opõe ao movimento relativo entre superfícies.
  • Decompondo o peso nas direções paralela e perpendicular ao plano:
    • Componente paralela ao plano (para baixo ao longo do plano): m g \sin\theta.
    • Componente perpendicular ao plano (empurra o bloco contra o plano): m g \cos\theta.
Observação sobre sinal e direção:
  • Vou assumir que o bloco desliza para baixo; nesse caso a força de atrito atua para cima ao longo do plano. Se o bloco estivesse sendo puxado para cima, a equação muda de sinal — atenção a isso na prova.

Passo 3

Equações do movimento (aplicando a segunda lei de Newton nas direções escolhidas):
  • Na direção perpendicular ao plano não há aceleração, logo: N = m g \cos\theta.Explicação: a soma das forças perpendiculares deve ser zero, então a normal equilibra a componente perpendicular do peso.
  • Na direção paralela ao plano (tomando o sentido para baixo como positivo) a segunda lei dá: m a = m g \sin\theta - f_{k}.Substituindo f_{k}=\mu_{c}N=\mu_{c} m g \cos\theta obtemos m a = m g \sin\theta - \mu_{c} m g \cos\theta.Podemos dividir ambos os lados por m (a massa cancela), porque a expressão não depende de m: a = g \sin\theta - \mu_{c} g \cos\theta.

Passo 4

Isolando \mu_{c} e interpretando a fórmula:
  • Resolvendo a equação anterior para \mu_{c} obtemos \mu_{c} = \frac{g\sin\theta - a}{g\cos\theta}.Aqui cada símbolo significa:
    • \mu_{c}: coeficiente de atrito cinético procurado;
    • g: aceleração da gravidade ( \approx 9,8\\ \mathrm{m\,s^{-2}}, se quiser usar valor numérico);
    • \theta: ângulo do plano inclinado (em radianos ou graus, desde que \sin\theta e \cos\theta estejam coerentes);
    • a: aceleração medida do bloco ( 2,5\\ \mathrm{m\,s^{-2}} no enunciado).
  • Substituindo a=2,5\\ \mathrm{m\,s^{-2}} e, se desejar, g=9,8\\ \mathrm{m\,s^{-2}}, a expressão fica \mu_{c} = \frac{9,8\sin\theta - 2,5}{9,8\cos\theta}ou, escrevendo de outra forma útil, \mu_{c} = \tan\theta - \frac{2,5}{9,8\cos\theta}.
  • Observações práticas:
    • Para obter um valor numérico de \mu_{c} é necessário conhecer \theta.
    • \mu_{c} deve ser não-negativo. A condição g\sin\theta - a\ge 0 garante \mu_c\ge0; se isso não ocorrer, ou a hipótese do sentido do movimento estiver errada, ou há inconsistência nos dados.
    • Se na prova for dado um \theta (por exemplo \theta=30^\circ), aplica-se a fórmula direta e calcula-se o número. Exemplo rápido: para \theta=30^\circ temos \sin30^\circ=\tfrac12 e \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, então \mu_{c}=\frac{9,8\cdot\tfrac12-2,5}{9,8\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\approx \frac{4,9-2,5}{8,486}\approx 0,283.(Isso é só um exemplo de uso da fórmula; o valor numérico depende de \theta.)

Resposta

\displaystyle \mu_{c}=\frac{g\sin\theta - 2,5}{g\cos\theta}=\frac{9,8\sin\theta - 2,5}{9,8\cos\theta}

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