Uma superfície gaussiana cúbica envolve um campo elétrico dado por componentes que dependem de x. Determine a carga total encerrada.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a carga total encerrada por uma superfície gaussiana cúbica, sabendo que o campo elétrico tem componentes que dependem de
.
Informações fornecidas (tal como o enunciado foi escrito):
- Há uma superfície gaussiana na forma de um cubo.
- O campo elétrico tem componentes que dependem apenas de
(isto é, ). - Pede-se a carga total encerrada pelo cubo.
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são necessárias para um valor numérico final):
- A expressão explícita das componentes do campo, por exemplo
, , . - As posições das faces do cubo ao longo do eixo
(ou seja, os valores de da face esquerda e da face direita). - A aresta do cubo (ou a área das faces).
Como essas informações numéricas não foram dadas, não é possível calcular um valor numérico para a carga. Ainda assim, é possível obter uma expressão geral e ensinar o procedimento passo a passo para calcular a carga quando esses dados estiverem disponíveis.
Passo 2
Princípio que vamos usar: Lei de Gauss. Vou explicar as duas formas (integral e diferencial) e o significado de cada termo.
Forma integral da Lei de Gauss:
Aqui:
-
é o campo elétrico. -
é o vetor área infinitesimal da superfície ; sua direção é a normal externa à superfície e seu módulo é a área infinitesimal. -
é a carga total encerrada pela superfície . -
é a permissividade do vácuo.
Forma diferencial (teorema da divergência aplicada ao campo):
onde
é a densidade volumétrica de carga. Integrando essa relação no volume
limitado por
e usando o teorema da divergência, obtemos novamente a forma integral:
Vou usar essas fórmulas e explicar como elas se simplificam quando
depende só de
.
Passo 3
Escrevendo o campo assumindo dependência apenas em
:
A definição do divergente é
Se cada componente depende apenas de
, então
e
(porque não há variação em
nem em
). Portanto o divergente reduz-se a
Observação importante (muito usada em provas): mesmo que
ou
sejam não nulos, se eles não variam com
e
respectivamente, eles não contribuem para o divergente.
Passo 4
Usando a forma volumétrica de Gauss para achar a carga:
Considere o cubo com faces perpendiculares ao eixo
localizadas em
(face esquerda) e
(face direita). A aresta do cubo é
e a área de cada face perpendicular a
é
Como
depende só de
, a integral dupla sobre
e
dá o fator
. Assim:
Integração direta:
Esta é a expressão geral: a carga encerrada depende apenas da diferença do componente
nas duas faces perpendiculares ao eixo
, multiplicada por
e pela área
.
Passo 5
Verificação alternativa (via fluxo pela superfície): é útil saber fazer também via integral de superfície, porque em prova às vezes pedem fluxos.
Fluxo total pela superfície do cubo:
- Nas quatro faces cujas normais estão em
e o produto escalar tem componente normal que vale ou . Mas como não varia com nem com , o fluxo líquido por essas faces se anula (a face positiva e a face oposta dão contribuições opostas iguais se e não dependem de ou se são zero). Em geral, apenas as faces com normais em contribuem de forma não cancelada. - Fluxo através da face em
: (normal externa no sentido +x). - Fluxo através da face em
: (normal externa no sentido -x, daí o sinal negativo).
Somando:
Pela Lei de Gauss,
o mesmo resultado obtido pelo divergente. Essa verificação é ótima para prova: mostra entendimento dos sinais e da orientação das normais.
Passo 6
Expressões práticas e interpretação:
- Se o cubo tem aresta
e está localizado entre e , então e
- Observações de sinal: se
é maior na face direita que na esquerda, ; se for menor, . Se tem o mesmo valor nas duas faces, (nenhuma carga líquida no volume).
Passo 7
Exemplo ilustrativo (para ver o cálculo numérico; não faz parte do enunciado original, só para treino): suponha que
, cubo do
até
com aresta
. Então
e
Passo a passo para esse exemplo: calcular
nas faces, subtrair, multiplicar por
e por
. Simples e direto na prova.
Passo 8
Resumo final do método (como fazer rápido na prova):
- Identificar
e as posições das faces do cubo. - Calcular
(aresta ). - Usar
.
Se preferir usar divergente, integrare obter a mesma expressão.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
porque o enunciado não fornece a expressão do campo nem as posições das faces do cubo.
Expressão geral: , onde
é a área de uma face do cubo e
são as coordenadas das faces esquerda e direita.
Expressão geral: