Uma superfície gaussiana cúbica envolve um campo elétrico dado por componentes que dependem de x. Determine a carga total encerrada.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a carga total encerrada por uma superfície gaussiana cúbica, sabendo que o campo elétrico tem componentes que dependem de x.
Informações fornecidas (tal como o enunciado foi escrito):
  • Há uma superfície gaussiana na forma de um cubo.
  • O campo elétrico tem componentes que dependem apenas de x (isto é, \mathbf{E}=\mathbf{E}(x)).
  • Pede-se a carga total encerrada pelo cubo.
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são necessárias para um valor numérico final):
  • A expressão explícita das componentes do campo, por exemplo E_x(x), E_y(x), E_z(x).
  • As posições das faces do cubo ao longo do eixo x (ou seja, os valores de x da face esquerda e da face direita).
  • A aresta do cubo (ou a área das faces).
Como essas informações numéricas não foram dadas, não é possível calcular um valor numérico para a carga. Ainda assim, é possível obter uma expressão geral e ensinar o procedimento passo a passo para calcular a carga quando esses dados estiverem disponíveis.

Passo 2

Princípio que vamos usar: Lei de Gauss. Vou explicar as duas formas (integral e diferencial) e o significado de cada termo.
Forma integral da Lei de Gauss:
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
Aqui:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico.
  • d\mathbf{A} é o vetor área infinitesimal da superfície S; sua direção é a normal externa à superfície e seu módulo é a área infinitesimal.
  • Q_{\text{enc}} é a carga total encerrada pela superfície S.
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
Forma diferencial (teorema da divergência aplicada ao campo):
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},
onde \rho é a densidade volumétrica de carga. Integrando essa relação no volume V limitado por S e usando o teorema da divergência, obtemos novamente a forma integral:
Q_{\text{enc}}=\varepsilon_0\int_V \nabla\cdot\mathbf{E}\,dV.
Vou usar essas fórmulas e explicar como elas se simplificam quando \mathbf{E} depende só de x.

Passo 3

Escrevendo o campo assumindo dependência apenas em x:
\mathbf{E}(x) = \bigl(E_x(x),\,E_y(x),\,E_z(x)\bigr).
A definição do divergente é
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}.
Se cada componente depende apenas de x, então \partial E_y/\partial y=0 e \partial E_z/\partial z=0 (porque não há variação em y nem em z). Portanto o divergente reduz-se a
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{dE_x}{dx}.
Observação importante (muito usada em provas): mesmo que E_y ou E_z sejam não nulos, se eles não variam com y e z respectivamente, eles não contribuem para o divergente.

Passo 4

Usando a forma volumétrica de Gauss para achar a carga:
Q_{\text{enc}}=\varepsilon_0\int_V \nabla\cdot\mathbf{E}\,dV =\varepsilon_0\int_V \frac{dE_x}{dx}\,dV.
Considere o cubo com faces perpendiculares ao eixo x localizadas em x=x_1 (face esquerda) e x=x_2 (face direita). A aresta do cubo é L e a área de cada face perpendicular a x é
A=L^2.
Como dE_x/dx depende só de x, a integral dupla sobre y e z dá o fator A. Assim:
Q_{\text{enc}}=\varepsilon_0 A \int_{x_1}^{x_2} \frac{dE_x}{dx}\,dx.
Integração direta:
Q_{\text{enc}}=\varepsilon_0 A \left[ E_x(x) \right]_{x_1}^{x_2} =\varepsilon_0 A\bigl(E_x(x_2)-E_x(x_1)\bigr).
Esta é a expressão geral: a carga encerrada depende apenas da diferença do componente E_x nas duas faces perpendiculares ao eixo x, multiplicada por \varepsilon_0 e pela área A.

Passo 5

Verificação alternativa (via fluxo pela superfície): é útil saber fazer também via integral de superfície, porque em prova às vezes pedem fluxos.
Fluxo total pela superfície do cubo:
  • Nas quatro faces cujas normais estão em y e z o produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} tem componente normal que vale E_y ou E_z. Mas como \mathbf{E} não varia com y nem com z, o fluxo líquido por essas faces se anula (a face positiva e a face oposta dão contribuições opostas iguais se E_y e E_z não dependem de y,z ou se são zero). Em geral, apenas as faces com normais em \pm\hat{\mathbf{x}} contribuem de forma não cancelada.
  • Fluxo através da face em x=x_2: \Phi_{x_2}=A\,E_x(x_2) (normal externa no sentido +x).
  • Fluxo através da face em x=x_1: \Phi_{x_1}=-A\,E_x(x_1) (normal externa no sentido -x, daí o sinal negativo).
    Somando:
\Phi_{\text{total}}=A\bigl(E_x(x_2)-E_x(x_1)\bigr).
Pela Lei de Gauss,
Q_{\text{enc}}=\varepsilon_0\Phi_{\text{total}} =\varepsilon_0 A\bigl(E_x(x_2)-E_x(x_1)\bigr),
o mesmo resultado obtido pelo divergente. Essa verificação é ótima para prova: mostra entendimento dos sinais e da orientação das normais.

Passo 6

Expressões práticas e interpretação:
  • Se o cubo tem aresta L e está localizado entre x=a e x=a+L, então A=L^2 e
Q_{\text{enc}}=\varepsilon_0 L^2\bigl(E_x(a+L)-E_x(a)\bigr).
  • Observações de sinal: se E_x é maior na face direita que na esquerda, Q_{\text{enc}}>0; se for menor, Q_{\text{enc}}<0. Se E_x tem o mesmo valor nas duas faces, Q_{\text{enc}}=0 (nenhuma carga líquida no volume).

Passo 7

Exemplo ilustrativo (para ver o cálculo numérico; não faz parte do enunciado original, só para treino): suponha que E_x(x)=k x^2, cubo do x=0 até x=a com aresta L=a. Então A=a^2 e
Q_{\text{enc}}=\varepsilon_0 a^2\bigl(E_x(a)-E_x(0)\bigr) =\varepsilon_0 a^2\bigl(k a^2-0\bigr)=\varepsilon_0 k a^4.
Passo a passo para esse exemplo: calcular E_x nas faces, subtrair, multiplicar por A e por \varepsilon_0. Simples e direto na prova.

Passo 8

Resumo final do método (como fazer rápido na prova):
  1. Identificar E_x(x) e as posições x_1,x_2 das faces do cubo.
  2. Calcular A=L^2 (aresta L).
  3. Usar \;Q_{\text{enc}}=\varepsilon_0 A\bigl(E_x(x_2)-E_x(x_1)\bigr)\;.
    Se preferir usar divergente, integrar \varepsilon_0 A \int_{x_1}^{x_2} dE_x/dx\,dx e obter a mesma expressão.

Resposta

Não é possível determinar numericamente Q_{\text{enc}} porque o enunciado não fornece a expressão do campo nem as posições das faces do cubo.
Expressão geral: Q_{\text{enc}}=\varepsilon_0 A\bigl(E_x(x_2)-E_x(x_1)\bigr), onde A é a área de uma face do cubo e x_1,x_2 são as coordenadas das faces esquerda e direita.

Exercícios relacionados