1. Um bloco cúbico de 10 cm de aresta e densidade 8,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{\circ} está suspenso do teto por uma mola, de constante elástica 40 N / m e comprimento relaxado de 0,5 m, e mergulhado dentro de um fluido viscoso de densidade 1,25 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Na situação considerada, a resistência do fluido é proporcional à velocidade, com coeficiente de proporcionalidade \rho=2 N . s / m. Inicialmente em equilíbrio, o bloco é deslocado de 1,0 c m para baixo e solto, a partir do repouso. Com origem no teto e eixo z vertical orientado para baixo (ver figura), determine a coordenada z da extremidade superior do bloco, em função do tempo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O que o enunciado pede: determinar a coordenada z da extremidade superior do bloco, em função do tempo, com origem no teto e eixo z orientado para baixo.
  • Dados fornecidos:
    • Aresta do cubo: 10\\ \mathrm{cm}.
    • Densidade do bloco: 8{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    • O bloco está totalmente mergulhado num fluido de densidade 1{,}25\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    • Constante elástica da mola: k=40\\ \mathrm{N/m}.
    • Comprimento relaxado da mola: L_{0}=0{,}5\\ \mathrm{m}.
    • Força de resistência do fluido proporcional à velocidade, com coeficiente c=\rho=2\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
    • Inicialmente o bloco está em equilíbrio; então é deslocado 1{,}0\\ \mathrm{cm} para baixo e solto a partir do repouso.
    • Origem em O no teto e eixo z apontando para baixo (veja a figura).
  • Condições iniciais (a partir do texto): no instante t=0 o bloco está em repouso e foi deslocado 1{,}0\\ \mathrm{cm} para baixo em relação ao equilíbrio estático.

Passo 2

Calcular volume e massa do bloco (conversões de unidades).
  • Aresta a=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}. Então o volume do cubo é
V = a^{3} = (0{,}10\\ \mathrm{m})^{3} = 1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Converter densidades para \mathrm{kg/m^{3}}:
\rho_{\text{bloco}} = 8{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 8000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \qquad \rho_{\text{fluido}} = 1{,}25\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1250\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Massa do bloco:
m = \rho_{\text{bloco}}\,V = 8000\cdot 1{,}0\times10^{-3} = 8{,}0\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Identificar as forças atuantes e escrever a equação do movimento (usar z positivo para baixo).
Forças atuantes (todas expressas com sinal positivo quando atuam para baixo):
  • Peso: P = mg (para baixo).
  • Força de empuxo (Arquimedes), para cima: F_{B} = \rho_{\text{fluido}}\,V\,g (então aparece com sinal negativo no somatório para baixo).
  • Força elástica da mola: se a extremidade superior do bloco está em z então a mola tem alongamento z-L_{0}, e a força da mola sobre o bloco é para cima com módulo k(z-L_{0}). Em soma para baixo aparece como -k(z-L_{0}).
  • Força de resistência viscosa, proporcional à velocidade e oposta ao movimento: F_{\text{visc}} = -c\,\dot z.
Aplicando a segunda lei de Newton ( \sum F_{\downarrow} = m\ddot z):
m\ddot z = mg - \rho_{\text{fluido}} V g - k(z-L_{0}) - c\,\dot z.
Reorganizando:
m\ddot z + c\,\dot z + k z = mg - \rho_{\text{fluido}} V g + k L_{0}.

Passo 4

Determinar a posição de equilíbrio estático z_{\text{eq}}.
Em equilíbrio estático \ddot z=0 e \dot z=0, logo:
k z_{\text{eq}} = mg - \rho_{\text{fluido}} V g + k L_{0}.
Portanto
z_{\text{eq}} = L_{0} + \frac{mg - \rho_{\text{fluido}} V g}{k}.
Agora calculo numericamente (uso g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}):
mg = 8{,}0\cdot 9{,}81 = 78{,}48\\ \mathrm{N}, \qquad \rho_{\text{fluido}} V g = 1250\cdot 1{,}0\times10^{-3}\cdot 9{,}81 = 12{,}2625\\ \mathrm{N}.
Logo
mg - \rho_{\text{fluido}} V g = 78{,}48 - 12{,}2625 = 66{,}2175\\ \mathrm{N}.
Dividindo por k=40\\ \mathrm{N/m} e somando L_{0}=0{,}5\\ \mathrm{m}:
z_{\text{eq}} = 0{,}5 + \frac{66{,}2175}{40} = 0{,}5 + 1{,}6554375 \approx 2{,}155\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Passar para coordenada de pequeno deslocamento em torno do equilíbrio e obter a ODE homogênea.
Defino x(t)=z(t)-z_{\text{eq}}. Substituindo em m\ddot z + c\dot z + k z = constante, as constantes se cancelam e obtemos a equação homogênea:
m\ddot x + c\dot x + k x = 0.
As condições iniciais, dadas que o bloco foi deslocado 1{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m} para baixo e largado do repouso, são
x(0)=0{,}01\\ \mathrm{m},\qquad \dot x(0)=0.

Passo 6

Identificar o tipo de amortecimento e calcular as constantes do movimento oscilatório amortecido.
  • Parâmetros:
m = 8{,}0\\ \mathrm{kg},\qquad c = 2\\ \mathrm{N\cdot s/m},\qquad k = 40\\ \mathrm{N/m}.
  • Frequência natural não amortecida:
\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{40}{8}} = \sqrt{5} \approx 2{,}236\\ \mathrm{rad/s}.
  • Coeficiente de amortecimento (taxa de decaimento exponencial):
\alpha = \frac{c}{2m} = \frac{2}{2\cdot 8} = \frac{2}{16} = 0{,}125\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Frequência angular amortecida (caso subamortecido):
\omega_{d} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \alpha^{2}} = \sqrt{5 - 0{,}015625} = \sqrt{4{,}984375}\approx 2{,}233\\ \mathrm{rad/s}.
Como \alpha < \omega_{0} o sistema é subamortecido (oscilações amortecidas).

Passo 7

Resolver a ODE para o caso subamortecido e aplicar condições iniciais.
A solução geral para m\ddot x + c\dot x + kx = 0 no caso subamortecido é
x(t) = e^{-\alpha t}\big(C\cos(\omega_{d} t)+D\sin(\omega_{d} t)\big).
Usando x(0)=C = 0{,}01\\ \mathrm{m}. A derivada é
\dot x(t) = -\alpha e^{-\alpha t}\big(C\cos(\omega_{d} t)+D\sin(\omega_{d} t)\big) + e^{-\alpha t}\big(-C\omega_{d}\sin(\omega_{d} t)+D\omega_{d}\cos(\omega_{d} t)\big).
Em t=0 temos \dot x(0) = -\alpha C + D\omega_{d} = 0, portanto
D = \frac{\alpha C}{\omega_{d}} = \frac{\alpha x(0)}{\omega_{d}}.
Substituindo C=x(0)=0{,}01\\ \mathrm{m} e os valores numéricos:
D = \frac{0{,}125\cdot 0{,}01}{2{,}233}\approx 0{,}0005601\\ \mathrm{m}.
Assim a solução explícita é
x(t) = 0{,}01\,e^{-0{,}125 t}\Big(\cos(2{,}233\,t)+\frac{0{,}125}{2{,}233}\sin(2{,}233\,t)\Big).
Nota: em cima os números 2{,}233 e 0{,}125 estão em unidades \mathrm{rad/s} e \mathrm{s^{-1}}, respectivamente.

Passo 8

Voltar para a coordenada z(t): somar z_{\text{eq}} ao deslocamento x(t).
Portanto a coordenada z da extremidade superior do bloco, em função do tempo, é
\boxed{\,z(t)=z_{\text{eq}}+x(t)=2{,}155\\ \mathrm{m} +0{,}01\,e^{-0{,}125 t}\Big(\cos(2{,}233\,t)+0{,}05601\sin(2{,}233\,t)\Big)\, }.
(Isto descreve pequenas oscilações amortecidas em torno de z_{\text{eq}}; o termo exponencial faz a amplitude decair com constante de tempo 1/\alpha=8\\ \mathrm{s}.)

Resposta

z(t)=2{,}155\\ \mathrm{m} +0{,}01\,e^{-0{,}125 t}\Big(\cos(2{,}233\,t)+0{,}05601\sin(2{,}233\,t)\Big)

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