- Um bloco cúbico de 10 cm de aresta e densidade
está suspenso do teto por uma mola, de constante elástica
e comprimento relaxado de
, e mergulhado dentro de um fluido viscoso de densidade
. Na situação considerada, a resistência do fluido é proporcional à velocidade, com coeficiente de proporcionalidade
. Inicialmente em equilíbrio, o bloco é deslocado de
para baixo e solto, a partir do repouso. Com origem no teto e eixo
vertical orientado para baixo (ver figura), determine a coordenada
da extremidade superior do bloco, em função do tempo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O que o enunciado pede: determinar a coordenada
da extremidade superior do bloco, em função do tempo, com origem no teto e eixo orientado para baixo. - Dados fornecidos:
- Aresta do cubo:
. - Densidade do bloco:
. - O bloco está totalmente mergulhado num fluido de densidade
. - Constante elástica da mola:
. - Comprimento relaxado da mola:
. - Força de resistência do fluido proporcional à velocidade, com coeficiente
. - Inicialmente o bloco está em equilíbrio; então é deslocado
para baixo e solto a partir do repouso. - Origem em
no teto e eixo apontando para baixo (veja a figura).
- Aresta do cubo:
- Condições iniciais (a partir do texto): no instante
o bloco está em repouso e foi deslocado para baixo em relação ao equilíbrio estático.
Passo 2
Calcular volume e massa do bloco (conversões de unidades).
- Aresta
. Então o volume do cubo é
- Converter densidades para
:
- Massa do bloco:
Passo 3
Identificar as forças atuantes e escrever a equação do movimento (usar
positivo para baixo).
Forças atuantes (todas expressas com sinal positivo quando atuam para baixo):
- Peso:
(para baixo). - Força de empuxo (Arquimedes), para cima:
(então aparece com sinal negativo no somatório para baixo). - Força elástica da mola: se a extremidade superior do bloco está em
então a mola tem alongamento , e a força da mola sobre o bloco é para cima com módulo . Em soma para baixo aparece como . - Força de resistência viscosa, proporcional à velocidade e oposta ao movimento:
.
Aplicando a segunda lei de Newton (
):
Reorganizando:
Passo 4
Determinar a posição de equilíbrio estático
.
Em equilíbrio estático
e
, logo:
Portanto
Agora calculo numericamente (uso
):
Logo
Dividindo por
e somando
:
Passo 5
Passar para coordenada de pequeno deslocamento em torno do equilíbrio e obter a ODE homogênea.
Defino
. Substituindo em
constante, as constantes se cancelam e obtemos a equação homogênea:
As condições iniciais, dadas que o bloco foi deslocado
para baixo e largado do repouso, são
Passo 6
Identificar o tipo de amortecimento e calcular as constantes do movimento oscilatório amortecido.
- Parâmetros:
- Frequência natural não amortecida:
- Coeficiente de amortecimento (taxa de decaimento exponencial):
- Frequência angular amortecida (caso subamortecido):
Como
o sistema é subamortecido (oscilações amortecidas).
Passo 7
Resolver a ODE para o caso subamortecido e aplicar condições iniciais.
A solução geral para
no caso subamortecido é
Usando
. A derivada é
Em
temos
, portanto
Substituindo
e os valores numéricos:
Assim a solução explícita é
Nota: em cima os números
e
estão em unidades
e
, respectivamente.
Passo 8
Voltar para a coordenada
: somar
ao deslocamento
.
Portanto a coordenada
da extremidade superior do bloco, em função do tempo, é
(Isto descreve pequenas oscilações amortecidas em torno de
; o termo exponencial faz a amplitude decair com constante de tempo
.)