8 Um pequeno elemento de corrente na origem tem comprimento de 2,0 \mathrm{~mm} e conduz uma corrente de 2,0 A na direção +z. Determine a magnitude do campo magnético devido a este elemento de corrente eindique

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que estão no enunciado):
  • Um pequeno elemento de corrente tem comprimento \ell=2{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • A corrente que atravessa esse elemento é I=2{,}0\\ \mathrm{A}.
  • O elemento está localizado na origem e aponta na direção +z.
    O que se pede:
  • Determinar a magnitude do campo magnético gerado por esse elemento de corrente (em função da posição do ponto onde se mede o campo, já que o enunciado não especifica um ponto numérico).
  • Indicar a direção do campo magnético.

Passo 2

Ferramenta física que vamos usar: a lei de Biot–Savart. Vou explicá‑la devagarinho e de forma concreta.
A lei de Biot–Savart dá o campo magnético produzido por um pequeno elemento de corrente. Em forma vetorial ela é
\mathrm{d}\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}.
Explicando cada símbolo:
  • \mathrm{d}\mathbf{B} é o campo magnético produzido pelo pequeno elemento de corrente \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}.
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo; numericamente \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^{2}}.
  • I é a corrente (aqui I=2{,}0\\ \mathrm{A}).
  • \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} é o vetor que representa o elemento de fio (direção da corrente e magnitude igual ao comprimento do elemento). Para o nosso pequeno elemento finito, usaremos \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\ell\,\hat{\mathbf{z}} com \ell=2{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • \mathbf{r} é o vetor que vai do elemento (origem) até o ponto onde se mede o campo; r=|\mathbf{r}| e \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r.
  • O produto vetorial \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}} define a direção do campo e traz o fator \sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} e \mathbf{r}.
Como resultado prático para a magnitude do campo produzido por esse elemento pequeno (treatado como “elemento de corrente” de comprimento \ell) no ponto que está a uma distância r do elemento e que forma ângulo \theta com o eixo do elemento, temos
\mathrm{d}B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,\ell\,\sin\theta}{r^{2}}.
(Atenção: aqui tratamos o elemento como muito pequeno e usamos a fórmula direta para o campo de um elemento finito muito curto; se o ponto estiver muito perto do elemento ou o elemento não for “pontual”, integrar seria necessário. Para a maioria dos exercícios elementares esse tratamento é o pedido.)

Passo 3

Vou substituir os valores numéricos conhecidos e simplificar a expressão simbólica.
Sabendo que \dfrac{\mu_0}{4\pi}=10^{-7} (no SI, em unidades \mathrm{T\cdot m/A}), I=2{,}0\\ \mathrm{A} e \ell=2{,}0\\ \mathrm{mm}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, substituímos em
\mathrm{d}B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,\ell\,\sin\theta}{r^{2}}.
Fazendo as contas do numerador:
\frac{\mu_0}{4\pi}\,I\,\ell=10^{-7}\times 2{,}0\times\bigl(2{,}0\times10^{-3}\bigr) =10^{-7}\times 4{,}0\times10^{-3}=4{,}0\times10^{-10}.
Portanto a magnitude do campo, em função de r e \theta, fica
\mathrm{d}B=\frac{4\times10^{-10}\,\sin\theta}{r^{2}}\\ \mathrm{T},
onde r está em metros. Observe a unidade: numerador em \mathrm{T\cdot m^{2}} dividido por m^{2} dá tesla, consistente.

Passo 4

Interpretações e casos particulares úteis na prova (já que pode cair uma pergunta do tipo “calcule em um ponto específico”):
  • Caso mais comum: ponto situado no plano perpendicular ao elemento (isto é, \theta=90^\circ\Rightarrow\sin\theta=1). Então
\mathrm{d}B=\frac{4\times10^{-10}}{r^{2}}\\ \mathrm{T}.
  • Exemplos numéricos rápidas (para treinar a conta sem calculadora):
    • Se r=1{,}0\\ \mathrm{cm}=1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}, então r^{2}=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}} e
    \mathrm{d}B=\frac{4\times10^{-10}}{1{,}0\times10^{-4}}=4\times10^{-6}\\ \mathrm{T}=4{,}0\\ \mu\mathrm{T}.
    • Se r=5{,}0\\ \mathrm{cm}=5{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}, então r^{2}=2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}} e
    \mathrm{d}B=\frac{4\times10^{-10}}{2{,}5\times10^{-3}}=1{,}6\times10^{-7}\\ \mathrm{T}=0{,}16\\ \mu\mathrm{T}.
  • Observação importante: a fórmula diverge quando r\to0 (campo tende a infinito), porque estamos usando a expressão de um elemento idealizado; fisicamente não faz sentido medir no mesmo ponto onde está a corrente — nesses casos modelagens mais detalhadas são necessárias.

Passo 5

Direção do campo magnético — como indicar na prova:
A direção vem do produto vetorial \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}} e pode ser obtida com a regra da mão direita (polegar aponta na direção da corrente, os dedos enrolam e mostram a direção do campo). Para o nosso caso:
  • A corrente está em +z. Assim o campo magnético circula em torno do eixo z (linhas de campo são círculos concêntricos no plano xy).
  • Num ponto sobre o eixo +x (por exemplo) o campo aponta na direção +y.
  • Num ponto sobre o eixo +y o campo aponta na direção -x.
    Em coordenadas cilíndricas a direção do campo é a direção azimutal \hat{\boldsymbol{\varphi}}. Vetorialmente, para o elemento pequeno:
\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,\ell}{r^{2}}\,\sin\theta\;\hat{\boldsymbol{\varphi}}.

Passo 6

Resumo prático para usar na prova (método passo a passo que você pode reproduzir rapidamente):
  1. Identificar I e \ell e converter \ell para metros.
  2. Escrever a fórmula da Biot–Savart para a magnitude: \mathrm{d}B=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\ell\sin\theta}{r^{2}}.
  3. Substituir \dfrac{\mu_0}{4\pi}=10^{-7} e os valores numéricos para obter uma expressão simples em função de r e \theta.
  4. Usar a regra da mão direita para indicar \hat{\boldsymbol{\varphi}} (direção do campo).

Resposta

\displaystyle \mathrm{d}B=\frac{4\times10^{-10}\,\sin\theta}{r^{2}}\\ \mathrm{T}
Direção: tangencial ao círculo centrado no eixo z (direção azimutal \hat{\boldsymbol{\varphi}}); para corrente em +z, o campo circula segundo a regra da mão direita (por exemplo, em +x o campo aponta em +y).

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