8 Um pequeno elemento de corrente na origem tem comprimento de
e conduz uma corrente de 2,0 A na direção
. Determine a magnitude do campo magnético devido a este elemento de corrente eindique
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que estão no enunciado):
- Um pequeno elemento de corrente tem comprimento
. - A corrente que atravessa esse elemento é
. - O elemento está localizado na origem e aponta na direção
.
O que se pede: - Determinar a magnitude do campo magnético gerado por esse elemento de corrente (em função da posição do ponto onde se mede o campo, já que o enunciado não especifica um ponto numérico).
- Indicar a direção do campo magnético.
Passo 2
Ferramenta física que vamos usar: a lei de Biot–Savart. Vou explicá‑la devagarinho e de forma concreta.
A lei de Biot–Savart dá o campo magnético produzido por um pequeno elemento de corrente. Em forma vetorial ela é
Explicando cada símbolo:
-
é o campo magnético produzido pelo pequeno elemento de corrente . -
é a permeabilidade do vácuo; numericamente . -
é a corrente (aqui ). -
é o vetor que representa o elemento de fio (direção da corrente e magnitude igual ao comprimento do elemento). Para o nosso pequeno elemento finito, usaremos com . -
é o vetor que vai do elemento (origem) até o ponto onde se mede o campo; e . - O produto vetorial
define a direção do campo e traz o fator , onde é o ângulo entre e .
Como resultado prático para a magnitude do campo produzido por esse elemento pequeno (treatado como “elemento de corrente” de comprimento
) no ponto que está a uma distância
do elemento e que forma ângulo
com o eixo do elemento, temos
(Atenção: aqui tratamos o elemento como muito pequeno e usamos a fórmula direta para o campo de um elemento finito muito curto; se o ponto estiver muito perto do elemento ou o elemento não for “pontual”, integrar seria necessário. Para a maioria dos exercícios elementares esse tratamento é o pedido.)
Passo 3
Vou substituir os valores numéricos conhecidos e simplificar a expressão simbólica.
Sabendo que
(no SI, em unidades
),
e
, substituímos em
Fazendo as contas do numerador:
Portanto a magnitude do campo, em função de
e
, fica
onde
está em metros. Observe a unidade: numerador em
dividido por
dá tesla, consistente.
Passo 4
Interpretações e casos particulares úteis na prova (já que pode cair uma pergunta do tipo “calcule em um ponto específico”):
- Caso mais comum: ponto situado no plano perpendicular ao elemento (isto é,
). Então
- Exemplos numéricos rápidas (para treinar a conta sem calculadora):
- Se
, então e
- Se
, então e
- Se
- Observação importante: a fórmula diverge quando
(campo tende a infinito), porque estamos usando a expressão de um elemento idealizado; fisicamente não faz sentido medir no mesmo ponto onde está a corrente — nesses casos modelagens mais detalhadas são necessárias.
Passo 5
Direção do campo magnético — como indicar na prova:
A direção vem do produto vetorial
e pode ser obtida com a regra da mão direita (polegar aponta na direção da corrente, os dedos enrolam e mostram a direção do campo). Para o nosso caso:
- A corrente está em
. Assim o campo magnético circula em torno do eixo (linhas de campo são círculos concêntricos no plano ). - Num ponto sobre o eixo
(por exemplo) o campo aponta na direção . - Num ponto sobre o eixo
o campo aponta na direção .
Em coordenadas cilíndricas a direção do campo é a direção azimutal. Vetorialmente, para o elemento pequeno:
Passo 6
Resumo prático para usar na prova (método passo a passo que você pode reproduzir rapidamente):
- Identificar
e e converter para metros. - Escrever a fórmula da Biot–Savart para a magnitude:
. - Substituir
e os valores numéricos para obter uma expressão simples em função de e . - Usar a regra da mão direita para indicar
(direção do campo).
Resposta
Direção: tangencial ao círculo centrado no eixo
(direção azimutal
); para corrente em
, o campo circula segundo a regra da mão direita (por exemplo, em
o campo aponta em
).