(3) (1,0 ponto)
R
Um pedaço de fio de Niquel-Cromo (Nicromo) tem um raio de 6,5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}. Ele é usado em um laboratório para fazer um aquecedor que utiliza 4,00 \times 10^{2} \mathrm{~W} de potência quando conectado a uma fonte de tensão de 120 V . Desprezando o efeito da temperatura sobre a resistência, estime o comprimento necessário do fio.
Considere para o (Nicromo) \rho=100 \times 10^{-8} \Omega . \mathrm{m}.
R=P \cdot \frac{L}{A}

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o comprimento do fio:
  • raio do fio: r = 6{,}5\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • potência dissipada pelo aquecedor: P = 4{,}00\times 10^{2}\\ \mathrm{W}.
  • tensão da fonte: V = 120\\ \mathrm{V}.
  • resistividade do Nicromo: \rho = 100\times 10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
    O que se pede: estimar o comprimento L do fio necessário (desprezando variação da resistência com temperatura).

Passo 2

Quais fórmulas físicas relevantes vamos usar (explicando cada termo):
  • Potência elétrica em um resistor, expressa com tensão e resistência:
P = \frac{V^2}{R},
onde P é potência (W), V é tensão (V) e R é resistência elétrica (Ω). Esta fórmula vem de P=VI e da Lei de Ohm V=IR; substituindo I=V/R em P=VI obtém-se P=V^2/R.
  • Resistência de um fio uniforme de comprimento L e seção transversal A:
R = \rho\,\frac{L}{A},
onde \rho é a resistividade do material ( \Omega\cdot\mathrm{m}), L o comprimento (m) e A a área da seção transversal (m ^2).
  • Área de um fio cilíndrico de raio r:
A = \pi r^2.
Definições: todas as variáveis acima já foram descritas; vamos usar essas relações para encontrar L.

Passo 3

Isolar R a partir de P e V. Da fórmula \;P=\dfrac{V^2}{R}\; segue
R=\frac{V^2}{P}.
Substituindo os valores dados:
R=\frac{(120)^2}{4{,}00\times 10^{2}}.

Passo 4

Calcular numericamente R:
R=\frac{14400}{400}=36\\ \Omega.
Comentário curto: isso significa que, para dissipar 400\\ \mathrm{W} com 120\\ \mathrm{V}, a resistência total do fio deve ser 36\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a área da seção transversal do fio:
A=\pi r^2=\pi (6{,}5\times 10^{-4})^2.
Calculemos o quadrado do raio:
r^2=(6{,}5\times 10^{-4})^2=4{,}225\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}^2.
Agora a área:
A=\pi\cdot 4{,}225\times 10^{-7}\approx 3{,}1416\times 4{,}225\times 10^{-7}\approx 1{,}3273\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 6

Isolar L a partir de R=\rho\,\dfrac{L}{A}. Reorganizando:
L=\frac{R\,A}{\rho}.
Antes de substituir, simplifiquemos \rho: dado \rho=100\times 10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m},
\rho = 100\times 10^{-8} = 1{,}0\times 10^{-6}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 7

Substituir valores em L=\dfrac{R A}{\rho}:
L=\frac{36\\ \Omega \times 1{,}3273\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2}{1{,}0\times 10^{-6}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}}.
Cancelando 10^{-6} e as unidades:
L=36\times 1{,}3273\\ \mathrm{m}\approx 47{,}781\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Arredondamento e interpretação: com os algarismos significativos dos dados (raio com 2 ou 3 algarismos, potência com 3), um valor razoável é arredondar para dois algarismos significativos ou três. Tomando três dígitos:
L \approx 47{,}8\\ \mathrm{m}.
Comentário final motivador: deu um fio bem comprido — cerca de cinquenta metros — o que é típico quando se usa fio de pequeno diâmetro para aquecimento. Não esqueça que, na prática, a resistividade varia com a temperatura, então o valor real pode diferir; aqui foi uma estimativa com resistência constante.

Resposta

L \approx 47{,}8\\ \mathrm{m}

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