Um bloco cúbico de aço de densidade rhoA=7,8 times 10^3 kg / m^3 flutua sobre mercúrio de densidade rhoHg= 13,6 times 10^3 kg / m^3. Uma camada de água de 5,0 cm de altura é derramada sobre a superfície do mercúrio, alcançando exatamente a face superior do bloco de aço. Quanto mede a aresta do cubo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco cúbico de aço que está flutuando sobre mercúrio. A gente sabe a densidade do aço ( rhoA=7,8 times 10^3 kg/m^3) e a do mercúrio ( rhoHg=13,6 times 10^3 kg/m^3). Depois, derramaram uma camada de água de 5,0 cm que exatamente cobre a parte superior do bloco. Nosso objetivo é descobrir quanto mede a aresta desse cubo.
Vamos precisar usar os conceitos de flutuabilidade e de equilíbrio de forças. Basicamente, quando um objeto flutua, o empuxo (força de empuxo) que atua sobre ele é igual ao peso do fluido deslocado. A gente vai usar isso para relacionar as densidades e descobrir a aresta do cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Arquimedes, que diz que o empuxo é igual ao peso do fluido deslocado. Matematicamente, isso pode ser escrito como:
Fempuxo = mfluido times g = rhofluido times Vdeslocado times g
Onde:
  • Fempuxo é a força de empuxo,
  • rhofluido é a densidade do fluido,
  • Vdeslocado é o volume do fluido deslocado,
  • g é a aceleração da gravidade.
Como o bloco está flutuando em equilíbrio, o empuxo total (do mercúrio e da água) deve ser igual ao peso do bloco de aço.

Passo 3

Vamos chamar de a a aresta do cubo que queremos encontrar. Então, o volume do cubo é:
Vbloco = a^3
O peso do bloco de aço é:
Pbloco = mbloco times g = rhoA times Vbloco times g = rhoA times a^3 times g
Esse peso precisa ser igual ao empuxo total proporcionado pela mistura de água e mercúrio.

Passo 4

Agora, vamos analisar o empuxo. Como uma camada de água de 5,0 cm (ou 0,05 m) foi adicionada e cobre exatamente a parte superior do bloco, significa que o bloco está parcialmente submerso no mercúrio e parcialmente coberto pela água.
O empuxo total será a soma do empuxo da água e do empuxo do mercúrio.
  1. Empuxo da água:
    A água exerce um empuxo baseado na sua densidade ( rhoágua = 1000 kg/m^3á) e no volume da parte do bloco que está submersa na água. Como a água cobre apenas 5,0 cm do bloco, o volume da água deslocada é:
    Vágua = a^2 times 0,05 , m á
    Então, o empuxo da água é:
    Fágua = rhoágua times Vágua times g = 1000 times a^2 times 0,05 times g ááá
  2. Empuxo do mercúrio:
    A parte do bloco submersa no mercúrio tem um volume de a^3 - Vágua = a^3 - a^2 times 0,05á. Portanto, o empuxo do mercúrio é:
    FHg = rhoHg times (a^3 - a^2 times 0,05) times g = 13,6 times 10^3 times (a^3 - 0,05 , a^2) times g

Passo 5

Agora, igualamos o peso do bloco ao empuxo total:
rhoA times a^3 times g = Fágua + FHg á
Substituindo os valores:
7,8 times 10^3 times a^3 times g = 1000 times a^2 times 0,05 times g + 13,6 times 10^3 times (a^3 - 0,05 , a^2) times g
Podemos dividir ambos os lados por g para simplificar:
7,8 times 10^3 times a^3 = 1000 times a^2 times 0,05 + 13,6 times 10^3 times (a^3 - 0,05 , a^2)

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
  1. Calcular o empuxo da água:
    1000 times a^2 times 0,05 = 50 times a^2
  2. Expandir o empuxo do mercúrio:
    13,6 times 10^3 times a^3 - 13,6 times 10^3 times 0,05 , a^2 = 13,6 times 10^3 times a^3 - 680 times a^2
Agora, a equação fica:
7,8 times 10^3 times a^3 = 50 times a^2 + 13,6 times 10^3 times a^3 - 680 times a^2
Vamos reunir termos semelhantes:
7,8 times 10^3 times a^3 - 13,6 times 10^3 times a^3 = 50 times a^2 - 680 times a^2
Calculando:
-5,8 times 10^3 times a^3 = -630 times a^2

Passo 7

Agora, vamos resolver para a. Primeiro, podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
5,8 times 10^3 times a^3 = 630 times a^2
Dividindo ambos os lados por a^2 (considerando que a neq 0):
5,8 times 10^3 times a = 630
Agora, isolamos a:
a = 6305,8 times 10^3 = 6305800 approx 0,1086 , m
Convertendo para centímetros:
0,1086 , m times 100 = 10,86 , cm

Resposta

A aresta do cubo mede aproximadamente 10,86 centímetros.

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