Um bloco cúbico de aço de densidade
flutua sobre mercúrio de densidade
. Uma camada de água de
de altura é derramada sobre a superfície do mercúrio, alcançando exatamente a face superior do bloco de aço. Quanto mede a aresta do cubo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco cúbico de aço que está flutuando sobre mercúrio. A gente sabe a densidade do aço (
) e a do mercúrio (
). Depois, derramaram uma camada de água de 5,0 cm que exatamente cobre a parte superior do bloco. Nosso objetivo é descobrir quanto mede a aresta desse cubo.
Vamos precisar usar os conceitos de flutuabilidade e de equilíbrio de forças. Basicamente, quando um objeto flutua, o empuxo (força de empuxo) que atua sobre ele é igual ao peso do fluido deslocado. A gente vai usar isso para relacionar as densidades e descobrir a aresta do cubo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Arquimedes, que diz que o empuxo é igual ao peso do fluido deslocado. Matematicamente, isso pode ser escrito como:
Onde:
-
é a força de empuxo, -
é a densidade do fluido, -
é o volume do fluido deslocado, -
é a aceleração da gravidade.
Como o bloco está flutuando em equilíbrio, o empuxo total (do mercúrio e da água) deve ser igual ao peso do bloco de aço.
Passo 3
Vamos chamar de
a aresta do cubo que queremos encontrar. Então, o volume do cubo é:
O peso do bloco de aço é:
Esse peso precisa ser igual ao empuxo total proporcionado pela mistura de água e mercúrio.
Passo 4
Agora, vamos analisar o empuxo. Como uma camada de água de 5,0 cm (ou 0,05 m) foi adicionada e cobre exatamente a parte superior do bloco, significa que o bloco está parcialmente submerso no mercúrio e parcialmente coberto pela água.
O empuxo total será a soma do empuxo da água e do empuxo do mercúrio.
-
Empuxo da água:
A água exerce um empuxo baseado na sua densidade () e no volume da parte do bloco que está submersa na água. Como a água cobre apenas 5,0 cm do bloco, o volume da água deslocada é: Então, o empuxo da água é: -
Empuxo do mercúrio:
A parte do bloco submersa no mercúrio tem um volume de. Portanto, o empuxo do mercúrio é:
Passo 5
Agora, igualamos o peso do bloco ao empuxo total:
Substituindo os valores:
Podemos dividir ambos os lados por
para simplificar:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
-
Calcular o empuxo da água:
-
Expandir o empuxo do mercúrio:
Agora, a equação fica:
Vamos reunir termos semelhantes:
Calculando:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, podemos multiplicar ambos os lados por
para facilitar:
Dividindo ambos os lados por
(considerando que
):
Agora, isolamos
:
Convertendo para centímetros:
Resposta
A aresta do cubo mede aproximadamente 10,86 centímetros.