Um bloco cúbico com densidade rhoB e lados de comprimento L flutua sobre um líquido de densidade maior rhoL. (a) Que fração do volume do bloco fica acima da superfície do líquido? (b) O líquido é mais denso que a água (densidade igual a rhoA ) e não se mistura com ela. Derramando-se água sobre a superfície do líquido, qual deve ser a camada de água para que sua superfície livre coincida com a superfície superior do bloco? Expresse a resposta em termos de L, rhoB, rhoL e rhoA. (c) Calcule a profundidade da camada de água da parte (b) se o líquido for mercúrio e o bloco for de aço com lado L=10,0 cm.
Você segura uma mangueira na altura da cintura e esguicha água horizontalmente a ela. O esguicho da mangueira tem um diâmetro de 1,80 cm, e a água jorra no solo a uma distância de 0,950 m horizontalmente a partir do esguicho. Se você restringir o esguicho a um diâmetro de 0,750 cm, a que distância horizontal a água jorrará antes de atingir o solo? (Despreze a resistência do ar.)

Passo 1

Resumindo o primeiro problema: temos um bloco cúbico de lado L e densidade rhoB flutuando sobre um líquido de densidade maior rhoL.
(a) Queremos a fração do volume do bloco que fica acima da superfície do líquido.
(b) Derramando água (densidade rhoA) sobre o líquido, sem mistura, queremos a espessura h da camada de água para que a superfície livre da água coincida com o topo do bloco, em termos de L,rhoB,rhoL,rhoA.
(c) Calculamos numericamente h para L=10,0 cm, bloco de aço ( rhoBapprox7,8times10^3 kg/m^3) e mercúrio ( rhoLapprox13,6times10^3 kg/m^3).
Em seguida vem o segundo problema: jato de água lançado horizontalmente da altura da cintura, diâmetro inicial 1,80 cm atinge o solo a 0,950 m. Se o diâmetro for reduzido para 0,750 cm, qual será a nova distância horizontal, assumindo vazão constante e sem resistência do ar?

Passo 2

Para (a) usamos o princípio de Arquimedes:
P = rhoB L^3 g
é igual ao empuxo
E = rhoL Vsub,g,
onde Vsub é o volume submerso. Igualando P=E e dividindo por L^3 g,
VsubL^3 = rhoBrhoL
Como a fração submersa vale rhoB/rhoL, a fração acima da superfície é
1 - rhoBrhoL

Passo 3

No item (b) o bloco fica com altura h submersa em água (até a superfície livre) e altura L-h embaixo no líquido de densidade rhoL. O empuxo total é
E = rhoA (L^2 h),g ;+; rhoLl[L^2 (L-h)r],g
e deve igualar o peso rhoB L^3 g. Cancelando L^2 g obtemos
rhoA,h + rhoL,(L-h) = rhoB,L
Rearranjando,
h(rhoA - rhoL) = (rhoB - rhoL),L ;;Longrightarrow;; h = rhoL - rhoBrhoL - rhoA,L

Passo 4

Para (c) usamos
rhoL=13,6times10^3 kg/m^3,
rhoB=7,8times10^3 kg/m^3,
rhoA=1,00times10^3 kg/m^3.
Logo
h = 13,6 - 7,813,6 - 1,0,L = 5,812,6,L approx 0,4603,L
Com L=10,0 cm resulta
h approx 0,4603times10,0 cm = 4,60 cm

Passo 5

No segundo problema vemos o jato como um projétil lançado horizontalmente de altura H. O tempo de queda até o solo é
t = raiz2Hg,
e o alcance horizontal inicial é R1 = v01,t. A vazão volumétrica Q é constante e vale Q = A,v0. Se o diâmetro muda de d1 para d2, as áreas se relacionam por Apropto d^2, e portanto
v02 = v01A1A2 = v01l(d1d2r)^2

Passo 6

Tomando d1=1,80 cm, R1=0,950 m, d2=0,750 cm, temos
R2 = v02,t = R1l(d1d2r)^2 = 0,950l(tfrac1,800,750r)^2 m = 0,950times(2,4)^2 m = 0,950times5,76 m approx5,47 m

Resposta

(a) A fração do volume acima da superfície é
1 - rhoBrhoL
(b) A espessura da camada de água é
h = rhoL - rhoBrhoL - rhoA,L
(c) Para mercúrio e aço com L=10,0 cm, happrox4,60 cm
Para o jato de água com o diâmetro reduzido a 0,750 cm, a distância horizontal é
R2approx5,47 m

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