Um projétil é lançado do solo numa direção inclinada em relação à horizontal. Em que instante sua velocidade será mínima? E máxima? Justifique.

Passo 1

O enunciado trata do movimento de um projétil lançado do solo com velocidade inicial v0 formando ângulo alpha com a horizontal. O conteúdo é a cinemática bidimensional sem resistência do ar, em que a aceleração é vec a = -,g,hatjmath. Para resolver, vamos decompor a velocidade em componentes horizontais e verticais e estudar o módulo v(t) ao longo do tempo de voo.

Passo 2

Em todo instante temos
vx(t)=v0cosalpha (constante)
vy(t)=v0sinalpha - g,t.
Logo, o módulo da velocidade é
v(t)=raizvx(t)^2 + vy(t)^2 =raizl(v0cosalphar)^2 + l(v0sinalpha - g,tr)^2

Passo 3

Para encontrar o mínimo de v(t), note que a componente horizontal é fixa e a vertical varia linearmente. O módulo será mínimo quando vy(t)=0, pois isso zera toda contribuição vertical, deixando só a fixa horizontal. Assim
vy(t)=0 ;Longrightarrow; v0sinalpha - g,t = 0 ;Longrightarrow; tmin = v0sinalphag
Nesse instante,
vmin = vx = v0cosalpha

Passo 4

O tempo total de voo é
T = 2,v0sinalphag
Como v(t) tem forma de raiz quadrática deslocada (um “U” invertido na curva de v^2), o valor máximo em [0,T] ocorre nos extremos do intervalo, isto é em t=0 e em t=T. Nesses instantes
v(0)=v0, v(T)=raiz(v0cosalpha)^2 + (-v0sinalpha)^2 = v0

Resposta

Instante de velocidade mínima:
tmin=v0sinalphag
Instantes de velocidade máxima:
t=0 e t=2,v0sinalphag

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