Um bloco cuja massa m é 537,2 \mathrm{~g} está preso a uma mola cuja constante elástica k é 63,1 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância x=13,8 \mathrm{~cm} a partir da posição de equilibrio em x=0 e liberado a partir do repouso no instante t=0.
Qual a velocidade máxima v_{m} do bloco, em módulo, e onde se encontra quando tem essa velocidade?
Escolha uma opção:
◯ a. 1,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e x=0
◯ b. 0,05 \mathrm{~m} / \mathrm{se} x=-0,14 \mathrm{~m}
◯ c. 33,44 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e x=0
◯ d. 211,51 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e x=13,80 \mathrm{~cm}
◯ e. 4,73 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e x=0
Limpar minha escolha

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo:
  • Massa do bloco: m=537,2\\ \mathrm{g}.
  • Constante elástica da mola: k=63,1\\ \mathrm{N/m}.
  • Deslocamento inicial a partir da posição de equilíbrio (amplitude): x=13,8\\ \mathrm{cm}. O bloco é liberado a partir do repouso em t=0.
  • Pergunta: qual a velocidade máxima \,v_{m}\, do bloco (em módulo) e onde (qual posição x) ele se encontra quando atinge essa velocidade?

Passo 2

Primeiro converto todas as grandezas para o SI (metros e quilogramas), porque isso torna as fórmulas diretas e evita erros de unidade.
  • Converter massa: \,537,2\\ \mathrm{g} = 0,5372\\ \mathrm{kg}.
  • Converter amplitude: \,13,8\\ \mathrm{cm} = 0,138\\ \mathrm{m}.
Vou usar as notações:
\,A para a amplitude (aqui A=0,138\\ \mathrm{m}),
\,m para a massa (aqui m=0,5372\\ \mathrm{kg}),
\,k para a constante da mola (aqui k=63,1\\ \mathrm{N/m}).

Passo 3

Explico a ideia física que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa):
Quando um bloco preso a uma mola é deslocado de x=0 para x=A e liberado sem atrito, a energia mecânica total é conservada. Inicialmente (em x=A) a energia cinética é zero e toda a energia está armazenada na mola como energia potencial elástica. Ao passar por x=0 (a posição de equilíbrio) a energia potencial da mola é nula e toda a energia virou cinética. Assim, a velocidade é máxima em x=0.
Matematicamente, a energia potencial elástica é
U_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}k x^{2},
e a energia cinética é
K=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
No instante inicial ( x=A, v=0) temos energia total E=\tfrac{1}{2}kA^{2}. No ponto de máxima velocidade (em x=0) temos E=\tfrac{1}{2}m v_{m}^{2}. Igualando as energias (conservação)
\tfrac{1}{2}m v_{m}^{2}=\tfrac{1}{2}kA^{2}.

Passo 4

A partir da igualdade acima, isolamos v_{m}. Cancelando \tfrac{1}{2} dos dois lados e resolvendo para v_{m},
v_{m} = A\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \,v_{m}: velocidade máxima (módulo),
  • \,A: amplitude do movimento (m),
  • \,k: constante elástica (N/m),
  • \,m: massa (kg).
Também já fica claro da dedução que a posição onde ocorre v_{m} é x=0, porque lá a energia potencial elástica é mínima (zero) e a cinética máxima.

Passo 5

Agora substituo os valores numéricos na fórmula passo a passo.
Calculo a razão \dfrac{k}{m}:
\frac{k}{m}=\frac{63,1}{0,5372}.
Faço a divisão aproximada:
\frac{63,1}{0,5372}\approx 117,46.

Passo 6

Tiro a raiz quadrada:
\sqrt{\frac{k}{m}}\approx \sqrt{117,46}\approx 10,838.

Passo 7

Multiplico por A para obter v_{m}:
v_{m}=A\sqrt{\frac{k}{m}}=0,138\times 10,838\approx 1,4956\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais, conforme as opções),
v_{m}\approx 1,50\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Conclusão sobre a posição: conforme a conservação de energia e a descrição do movimento harmônico simples, a velocidade máxima ocorre na posição de equilíbrio, isto é, em \,x=0.

Resposta

a. 1,50\\ \mathrm{m/s} e x=0

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