Calcule e mostre que:
Passo 1
O enunciado pede que a gente mostre as quatro relações seguintes:
Lista das informações/definições que vamos usar (tudo dado ou padrão em termodinâmica):
-
é a energia interna (função de e que assumimos diferenciável). -
é a entropia e a temperatura. -
é a capacidade calorífica a volume constante: . -
é a capacidade calorífica a pressão constante: . -
é o coeficiente de expansão térmica volumétrica: . -
é a compressibilidade isotérmica (isothermal compressibility): . - No enunciado aparece
sem subscrito; vou entender (isso é comum). Sempre que escrever ou significará a mesma coisa. - Equação fundamental para energia interna (1ª e 2ª leis juntas):
. - Relação de Maxwell usada:
.
Nenhuma outra hipótese exótica é necessária; agora começamos a resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro objetivo técnico: obter uma expressão útil para
em termos de
e
, porque isso nos permite conectar
com variações em
e
.
Usamos duas informações:
Usamos duas informações:
- A derivada de
em relação a a volume constante é dada por . - A relação de Maxwell:
.
Com isso, a diferencial total deem variando e é
Substituindo as expressões acima:
Esta fórmula é muito útil: ela diz como a entropia muda quando mudamos
e
.
Passo 3
Vamos obter
.
Começamos escrevendo como função de
e
:
.
Por outro lado, da relação fundamental temos .
Comparando os termos em (mantendo
constante, então
) obtemos
Começamos escrevendo
Por outro lado, da relação fundamental temos
Comparando os termos em
Agora precisamos de
. Usamos cadeia: em
fixo
via
, então
Logo
Falta calcular
.
Passo 4
Cálculo de
usando a dependência
.
A diferencial de é
A diferencial de
Para variar
deixando
constante temos
, então
Daí isolamos
:
Agora usamos as definições de
e
:
Substituindo:
Passo 5
Voltando a
do Passo 3 e usando o resultado do Passo 4:
Lembrando que o enunciado escreveu
em vez de
, isto demonstra a primeira relação:
Passo 6
Agora obtemos
.
Da mesma comparação entre e
, olhando para o coeficiente de
(com
fixo,
) obtemos
Da mesma comparação entre
Então precisamos de
.
Passo 7
Cálculo de
. Use que, para pressão fixa,
varia com
:
Para
usamos que, à pressão constante,
Então
Passo 8
Substituindo esse resultado em
(Passo 6) obtemos
Assim demonstramos a segunda relação pedida.
Passo 9
Agora vamos obter a expressão para a diferencial de calor reversível
. Para um processo reversível
. Usamos o
do Passo 2:
Queremos expressar
em termos de
e
. Para isso escrevemos
em função de
e
(tratando
como função de
e
):
Do Passo 4 e Passo 7 temos
Substituindo em
:
Logo
Falta mostrar que o coeficiente do
vale
.
Passo 10
Mostramos a identidade necessária para simplificar o coeficiente de
.
Primeiro notamos que a relação inversa do Passo 4 dá
Primeiro notamos que a relação inversa do Passo 4 dá
Agora usamos a identidade bem conhecida (que pode ser demonstrada via diferenças de
e
e a mesma técnica de derivadas parciais):
Substituindo
e
obtemos
Agora volte ao coeficiente de
obtido no Passo 9:
Multiplicando por
para comparar:
Logo o coeficiente do
é
. Portanto a expressão para
fica
que é exatamente a terceira relação pedida.
Passo 11
Finalmente, calculamos
.
Para derivadas em superfícies implícitas, existe a fórmula (cadeia/jacobiano):
Para derivadas em superfícies implícitas, existe a fórmula (cadeia/jacobiano):
Já calculamos ambos os numerador e denominador:
- Do Passo 7:
. - Do Passo 3/4:
.
Dividindo:
Reescrevendo na ordem do enunciado:
Isso mostra a quarta relação pedida.