Considere um sistema bloco+mola oscilando sem atrito, com período de 2 \pi \mathrm{~s}. No instante \mathrm{t}=0 o bloco ocupa a posição x_{0}=4 \mathrm{~cm}, com velocidade \mathrm{v}_{0}=-2,7 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}.
Qual a função que melhor descreve as posições ocupadas pelo bloco em cada instante?
Escolha uma opção:
◯ a. (6,27 \mathrm{~cm}) \operatorname{sen}(2 \pi \mathrm{t})
◯ b. (4,83 \mathrm{~cm}) \cos (\mathrm{t})
◯ c. (7,44 \mathrm{~cm}) \operatorname{sen}(t+0,59)
◯ d. (6,27 \mathrm{~cm}) \cos (2 \pi t+1,19)
◯ e. (4,83 \mathrm{~cm}) \cos (\mathrm{t}+0,59)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a função que descreve a posição do bloco em cada instante e escolher a opção correta entre as dadas. Dados fornecidos:
T = 2\pi\\ \text{s},\qquad x(0)=x_0=4\\ \text{cm},\qquad v(0)=v_0=-2,7\\ \text{cm/s}.
As opções são expressões harmônicas com amplitudes, frequências e fases diferentes; precisamos usar os dados iniciais para identificar a que coincide com o movimento.

Passo 2

Conceito e fórmula geral — aula curta e prática: para um sistema massa-mola sem atrito temos movimento harmônico simples. A forma mais prática é usar
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (máximo deslocamento, em cm);
  • \omega é a frequência angular (em rad/s);
  • \varphi é a fase inicial (em radianos).
    A velocidade resultante é a derivada:
v(t)=\dot x(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Essas fórmulas são básicas: a posição é uma cósena deslocada por uma fase, a velocidade troca cos por seno com sinal negativo.

Passo 3

Determinar \omega a partir do período: pela relação entre período e frequência angular,
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Como T=2\pi,
\omega=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\ \text{rad/s}.
Portanto usaremos \omega=1 (isso simplifica muito as contas).

Passo 4

Aplicar as condições iniciais no modelo x(t)=A\cos(t+\varphi) (já que \omega=1):
Em t=0,
x(0)=A\cos\varphi = x_0 = 4.
E para a velocidade, com \omega=1,
v(0)=-A\sin\varphi = v_0 = -2,7.
Reescrevendo a segunda equação:
-A\sin\varphi = -2,7 \quad\Rightarrow\quad A\sin\varphi = 2,7.

Passo 5

Calcular a amplitude A usando as duas equações. Somando os quadrados (aproveitando a identidade \cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1):
A^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=x_0^2 + (2,7)^2.
Logo
A^2 = 4^2 + 2,7^2 = 16 + 7,29 = 23,29.
Portanto
A=\sqrt{23,29}\approx 4,826\\ \text{cm}\approx 4,83\\ \text{cm}.
Interpretação: a amplitude é cerca de 4,83 cm — o bloco oscila até esse deslocamento máximo.

Passo 6

Encontrar a fase \varphi. Usamos a tangente:
\tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{2,7}{4}=0,675.
Logo
\varphi=\arctan(0,675)\approx 0,5947\\ \text{rad}\approx 0,59\\ \text{rad}.
Verificação de quadrante: \cos\varphi = x_0/A = 4/4,83>0 e \sin\varphi = 2,7/4,83>0, então \varphi está no 1.º quadrante — o valor obtido é consistente.

Passo 7

Escrever a solução final com os valores calculados e checar rapidamente os sinais:
x(t)=4,83\cos(t+0,59)\\ \text{cm}.
Teste rápido em t=0: \cos(0,59)\approx 0,83 então x(0)\approx 4,83\cdot0,83\approx4 cm; para a velocidade v(0)=-4,83\sin(0,59)\approx-2,7 cm/s — confere com as condições iniciais. Portanto a opção que corresponde é a que apresenta exatamente essa forma.

Resposta

e. \\ (4,83\\ \mathrm{cm})\cos(t+0,59)

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