Considere um sistema bloco+mola oscilando sem atrito, com período de
. No instante
o bloco ocupa a posição
, com velocidade
.
Qual a função que melhor descreve as posições ocupadas pelo bloco em cada instante?
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Qual a função que melhor descreve as posições ocupadas pelo bloco em cada instante?
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a função que descreve a posição do bloco em cada instante e escolher a opção correta entre as dadas. Dados fornecidos:
As opções são expressões harmônicas com amplitudes, frequências e fases diferentes; precisamos usar os dados iniciais para identificar a que coincide com o movimento.
Passo 2
Conceito e fórmula geral — aula curta e prática: para um sistema massa-mola sem atrito temos movimento harmônico simples. A forma mais prática é usar
onde:
-
é a amplitude (máximo deslocamento, em cm); -
é a frequência angular (em rad/s); -
é a fase inicial (em radianos).
A velocidade resultante é a derivada:
Essas fórmulas são básicas: a posição é uma cósena deslocada por uma fase, a velocidade troca cos por seno com sinal negativo.
Passo 3
Determinar
a partir do período: pela relação entre período e frequência angular,
Como
,
Portanto usaremos
(isso simplifica muito as contas).
Passo 4
Aplicar as condições iniciais no modelo
(já que
):
Em
,
E para a velocidade, com
,
Reescrevendo a segunda equação:
Passo 5
Calcular a amplitude
usando as duas equações. Somando os quadrados (aproveitando a identidade
):
Logo
Portanto
Interpretação: a amplitude é cerca de
cm — o bloco oscila até esse deslocamento máximo.
Passo 6
Encontrar a fase
. Usamos a tangente:
Logo
Verificação de quadrante:
e
, então
está no 1.º quadrante — o valor obtido é consistente.
Passo 7
Escrever a solução final com os valores calculados e checar rapidamente os sinais:
Teste rápido em
:
então
cm; para a velocidade
cm/s — confere com as condições iniciais. Portanto a opção que corresponde é a que apresenta exatamente essa forma.
Resposta
e.