1. Um bloco cuja massa m é 680 g está preso a uma mola cuja constante elástica k é 65 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância \mathrm{x}=
11 cm , a partir da posição de equilíbrio em \mathrm{x}=0, e libertado a partir do repouso no instante \mathrm{t}=0.
  • a. Quais são a frequência angular, a frequência e o período do movimento resultante?.
  • b. Qual é a amplitude das oscilações?.
  • c. Qual é a velocidade máxima (vm) do bloco e onde se encontra o bloco quando tem essa velocidade?.
  • d. Qual é o módulo da aceleração máxima (am) do bloco?.
  • e. Qual é a constante de fase do movimento?.
  • f. Qual é a função deslocamento do sistema?.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m=680 g preso a uma mola de constante elástica k=65 N/m, que é deslocado x=11 cm da posição de equilíbrio e liberado em repouso em t=0. Trata-se de movimento harmônico simples (MHS). Para resolver, vamos usar as fórmulas
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}},\quad f = \frac{\omega}{2\pi},\quad T = \frac{1}{f},
além de A\omega para velocidade máxima e A\omega^2 para aceleração máxima, e as condições iniciais para a fase.

Passo 2

Convertemos a massa em SI: m=0,68 kg. Calculamos a frequência angular:
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{65}{0,68}} \approx 9,78\text{ rad/s}.

Passo 3

Usamos \omega para achar a frequência e o período:
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{9,78}{2\pi} \approx 1,56\text{ Hz},
T = \frac{1}{f} \approx 0,64\text{ s}.

Passo 4

A amplitude A do movimento é simplesmente o deslocamento inicial, pois o bloco parte do repouso no extremo:
A = 11\text{ cm} = 0,11\text{ m}.

Passo 5

A velocidade máxima em MHS é
v_{\max} = A\,\omega = 0,11 \times 9,78 \approx 1,08\text{ m/s},
e ocorre quando o bloco passa pela posição de equilíbrio, isto é, x=0.

Passo 6

A aceleração máxima é
a_{\max} = A\,\omega^2 = 0,11 \times (9,78)^2 \approx 10,5\text{ m/s}^2,
e ocorre nos extremos x = \pm A.

Passo 7

A solução geral do deslocamento é
x(t) = A \cos(\omega t + \varphi).
Em t=0 temos x(0)=A e v(0)=0, logo
A\cos\varphi = A \implies \cos\varphi=1,
- A\,\omega\sin\varphi = 0 \implies \sin\varphi=0,
portanto \varphi=0.

Passo 8

Substituindo A, \omega e \varphi, a função deslocamento fica
x(t) = 0,11 \cos\bigl(9,78\,t\bigr)\quad(\text{m}).

Resposta

a. \omega\approx9,78 rad/s, f\approx1,56 Hz, T\approx0,64 s
b. A=0,11 m
c. v_{\max}\approx1,08 m/s, ocorre em x=0
d. a_{\max}\approx10,5 m/ s^{2}
e. \varphi=0
f. x(t)=0,11\cos\bigl(9,78\,t\bigr) m

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