Questão 1 Uma corda de comprimento L, fixa nas duas extremidades, está presa a um diapasão que vibra na frequência f produzindo ondas transversais. Determine,
a) A velocidade da onda quando a corda vibra no terceiro harmônico.
b) O comprimento da onda estacionária desse harmônico.
c) Se o máximo deslocamento da vibração dos elementos da corda em um ventre é yo, escreva a expressão para a função y ( \mathrm{x}, \mathrm{t} ) que descreve essa onda estacionária.

Passo 1

O enunciado descreve uma corda de comprimento L, fixa em ambas as extremidades, que vibra no terceiro harmônico sob ação de um diapasão com frequência f. O conteúdo envolve as fórmulas de frequências e comprimentos de onda permitidos para uma corda fixa nos dois extremos:
f_n = \frac{n\,v}{2\,L}, \quad \lambda_n = \frac{2\,L}{n},
além da forma geral de uma onda estacionária transversal:
y(x,t)=A\sin(kx)\cos(\omega t),
onde k=2\pi/\lambda e \omega=2\pi f.

Passo 2

Para o terceiro harmônico ( n=3), a frequência do diapasão satisfaz
f = f_3 = \frac{3\,v}{2\,L}.
Isolando v, obtemos
v = \frac{2\,L\,f}{3}.

Passo 3

O comprimento de onda correspondente ao terceiro harmônico é
\lambda_3 = \frac{2\,L}{3}.

Passo 4

A amplitude máxima num ventre é y_0. Para esse harmônico temos
k = \frac{2\pi}{\lambda_3} = \frac{2\pi}{2L/3} = \frac{3\pi}{L}, \qquad \omega = 2\pi f.
Assim, a expressão da onda estacionária é
y(x,t)=y_0\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{L}x\bigr)\cos\!\bigl(2\pi f\,t\bigr).

Resposta

a) \displaystyle v=\frac{2\,L\,f}{3}
b) \displaystyle \lambda=\frac{2\,L}{3}
c) \displaystyle y(x,t)=y_0\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{L}x\bigr)\cos\!\bigl(2\pi f\,t\bigr)

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