Um bloco desce um plano inclinado bastante longo. Se o ângulo de inclinação do plano em relação à horizontal é
e o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é
, determine o trabalho da força de atrito de um instante onde o bloco desce a rampa com velocidade inicial
, até sua parada (considere que a força de atrito cinética é maior que a componente do peso paralela ao plano, para que o bloco desacelere)(Dica: calcule primeiro o comprimento do seguimento de descida usando as equações da cinemática ou o teorema do trabalho e energia, depois use a definição do trabalho para chegar à resposta).
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um bloco que está deslizando por um plano inclinado com um ângulo de inclinação
. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é
. Precisamos determinar o trabalho realizado pela força de atrito desde o momento em que o bloco começa a descer com uma velocidade inicial
até ele parar completamente.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e trabalho-energia. Precisamos calcular o comprimento da descida usando a cinemática ou o teorema do trabalho e energia, e depois aplicar a definição de trabalho para encontrar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as forças atuando no bloco enquanto ele desce o plano inclinado. Existem duas forças principais:
-
Componente do peso paralela ao plano (
): Esta força tenta puxar o bloco para baixo ao longo do plano e é dada por: onde:-
é a massa do bloco, -
é a aceleração da gravidade.
-
-
Força de atrito cinético (
): Esta força age na direção oposta ao movimento, tentando retardar o bloco, e é dada por: onde:-
é a força normal, que, em um plano inclinado, é:
-
Como a força de atrito é maior que a componente do peso paralela ao plano, isso significa que a força resultante está atuando para desacelerar o bloco.
Passo 3
Vamos usar o teorema do trabalho e energia, que afirma que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à sua variação de energia cinética:
Inicialmente, o bloco tem uma energia cinética:
Quando o bloco para, a energia cinética final é zero:
Portanto, a variação de energia cinética é:
Passo 4
Agora, vamos considerar o trabalho realizado pelas forças atuantes. As únicas forças que realizam trabalho são a força de atrito e a componente do peso paralela ao plano. No entanto, como o bloco está desacelerando, a força de atrito é a responsável principal por essa mudança de energia.
O trabalho realizado pela força de atrito é:
Onde:
-
é a distância percorrida, -
é o ângulo entre a força de atrito e o deslocamento. Como a força de atrito está oposta ao movimento, , então .
Portanto:
Passo 5
Igualando o trabalho total à variação da energia cinética:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos expressar
em termos de
e as outras variáveis:
Substituindo na equação anterior:
Podemos cancelar a massa
de ambos os lados:
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Finalmente, substituindo
na expressão do trabalho de atrito:
Simplificando:
Resposta
O trabalho realizado pela força de atrito é igual a
.