Um bloco desce um plano inclinado bastante longo. Se o ângulo de inclinação do plano em relação à horizontal é alpha e o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é muc, determine o trabalho da força de atrito de um instante onde o bloco desce a rampa com velocidade inicial v0, até sua parada (considere que a força de atrito cinética é maior que a componente do peso paralela ao plano, para que o bloco desacelere)(Dica: calcule primeiro o comprimento do seguimento de descida usando as equações da cinemática ou o teorema do trabalho e energia, depois use a definição do trabalho para chegar à resposta).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um bloco que está deslizando por um plano inclinado com um ângulo de inclinação alpha. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é muc. Precisamos determinar o trabalho realizado pela força de atrito desde o momento em que o bloco começa a descer com uma velocidade inicial v0 até ele parar completamente.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e trabalho-energia. Precisamos calcular o comprimento da descida usando a cinemática ou o teorema do trabalho e energia, e depois aplicar a definição de trabalho para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as forças atuando no bloco enquanto ele desce o plano inclinado. Existem duas forças principais:
  1. Componente do peso paralela ao plano ( Pparal<=l): Esta força tenta puxar o bloco para baixo ao longo do plano e é dada por:
    Pparal<=l = m cdot g cdot sin(alpha)
    onde:
    • m é a massa do bloco,
    • g é a aceleração da gravidade.
  2. Força de atrito cinético ( fc): Esta força age na direção oposta ao movimento, tentando retardar o bloco, e é dada por:
    fc = muc cdot N
    onde:
    • N é a força normal, que, em um plano inclinado, é: N = m cdot g cdot cos(alpha)
Como a força de atrito é maior que a componente do peso paralela ao plano, isso significa que a força resultante está atuando para desacelerar o bloco.

Passo 3

Vamos usar o teorema do trabalho e energia, que afirma que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à sua variação de energia cinética:
Wtotal = De
Inicialmente, o bloco tem uma energia cinética:
Eci = 12 m v0^2
Quando o bloco para, a energia cinética final é zero:
Ecf = 0
Portanto, a variação de energia cinética é:
De

Passo 4

Agora, vamos considerar o trabalho realizado pelas forças atuantes. As únicas forças que realizam trabalho são a força de atrito e a componente do peso paralela ao plano. No entanto, como o bloco está desacelerando, a força de atrito é a responsável principal por essa mudança de energia.
O trabalho realizado pela força de atrito é:
Watrito = fc cdot d cdot cos(theta)
Onde:
  • d é a distância percorrida,
  • theta é o ângulo entre a força de atrito e o deslocamento. Como a força de atrito está oposta ao movimento, theta = 180^circ, então cos(180^circ) = -1.
Portanto:
Watrito = - fc cdot d

Passo 5

Igualando o trabalho total à variação da energia cinética:
Watrito = De
- fc cdot d = -12 m v0^2
Simplificando:
fc cdot d = 12 m v0^2

Passo 6

Agora, vamos expressar fc em termos de muc e as outras variáveis:
fc = muc cdot N = muc cdot m cdot g cdot cos(alpha)
Substituindo na equação anterior:
muc cdot m cdot g cdot cos(alpha) cdot d = 12 m v0^2
Podemos cancelar a massa m de ambos os lados:
muc cdot g cdot cos(alpha) cdot d = 12 v0^2

Passo 7

Resolvendo para d:
d = 12 v0^2muc cdot g cdot cos(alpha)
d = v0^22 muc g cos(alpha)

Passo 8

Finalmente, substituindo d na expressão do trabalho de atrito:
Watrito = - muc cdot m cdot g cdot cos(alpha) cdot v0^22 muc g cos(alpha)
Simplificando:
Watrito = - 12 m v0^2

Resposta

O trabalho realizado pela força de atrito é igual a -12 m v0^2.

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