A força de resistência do ar é a responsável por garantir por exemplo, que pingos de chuva não caiam a velocidades muito grandes ao serem acelerados em queda livre pela gravidade gà partir de grandes altitudes, o que poderia torná-los perigosos. Suponha que essa força seja dada por
onde
é uma constante positiva e
o vetor velocidade. Se uma gota de massa m cai verticalmente à partir do repouso e atinge sua velocidade terminal (velocidade em que a resistência do ar se equilibra com o peso da gota) a uma altura h abaixo do ponto inicial de queda, determine a magnitude dessa velocidade (dica: utilize a condição de equilíbrio) e o trabalho realizado pela resistência do ar sobre a gota até então. Qual a potência aplicada pela força de resistência no restante da queda, após a gota atingir a velocidade terminal?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a força de resistência do ar que age numa gota de chuva enquanto ela cai. A gente precisa usar conceitos de dinâmica de corpos em movimento com resistência do ar. Vamos precisar entender a condição de equilíbrio para encontrar a velocidade terminal, calcular o trabalho da força de resistência até esse ponto e depois determinar a potência dessa força no restante da queda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a condição de equilíbrio quando a gota atinge a velocidade terminal. Nesse ponto, a força da resistência do ar equilibra o peso da gota. O peso é dado por $ mg $, onde $ m $ é a massa da gota e $ g $ é a aceleração da gravidade. A força de resistência do ar é $ \vec{F} = -\gamma \vec{v} $. Como estamos tratando das magnitudes, podemos escrever:
No equilíbrio:
Passo 3
Agora, vamos resolver para encontrar a velocidade terminal $ v_{terminal} $:
Passo 4
Com a velocidade terminal encontrada, vamos calcular o trabalho realizado pela força de resistência até a gota atingir esse ponto. Trabalho é dado por:
Aqui, a força $ F $ é a resistência do ar, e $ dx $ é o deslocamento. Como a gota começa do repouso e acelera até $ v_{terminal} $, podemos usar a energia:
A energia cinética final é:
O trabalho realizado pela resistência do ar é igual à variação da energia cinética, mas como a resistência faz trabalho contrário ao movimento:
Substituindo $ v_{terminal} $:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a potência aplicada pela força de resistência no restante da queda, onde a gota já está na velocidade terminal. A potência é dada por:
Nesse caso, $ F = \gamma v_{terminal} $ e $ v = v_{terminal} $, então:
Substituindo $ v_{terminal} $:
Resposta
A magnitude da velocidade terminal é $ v_{terminal} = \frac{mg}{\gamma} $. O trabalho realizado pela resistência do ar até atingir essa velocidade é $ W = -\frac{m^3 g^2}{2 \gamma^2} $. A potência aplicada pela força de resistência após atingir a velocidade terminal é $ P = \frac{m^2 g^2}{\gamma} $.