Uma pequena esfera de chumbo está suspensa por meio de um fio ideal ligado ao teto. Sabendo que o fio aguenta uma tensão de apenas quatro terços do peso da esfera, qual o ângulo máximo em relação à vertical sob o qual é possível erguer a massa (com o fio esticado) e soltá-la à partir do repouso para que este fio não quebre ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória pendular (dica: use a dinâmica de movimento circular para relacionar as forças envolvidas).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos uma esfera de chumbo presa por um fio que pode aguentar no máximo quatro terços do peso da esfera. A pergunta é: qual é o ângulo máximo que a gente pode levantar essa esfera em relação à vertical e soltá-la sem que o fio quebre quando a esfera passar pelo ponto mais baixo do seu movimento pendular.
Vamos precisar usar conhecimentos de dinâmica de movimento circular, que envolve forças como tensão no fio e peso da esfera, além de entender como essas forças se comportam quando a esfera está se movendo em um arco.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na esfera quando ela está no ponto mais baixo da trajetória pendular. Nesse ponto, existem duas forças principais:
-
Peso da esfera §: que é igual a massa da esfera vezes a aceleração da gravidade, $ P = m \cdot g $.
-
Tensão no fio (T): que puxa a esfera para cima.
No ponto mais baixo, a tensão no fio não apenas equilibra o peso da esfera, mas também fornece a força centrípeta necessária para manter a esfera em movimento circular.
Passo 3
Vamos lembrar que a força centrípeta ($ F_c $) necessária para manter um objeto em movimento circular é dada por:
onde:
- $ m $ é a massa da esfera,
- $ v $ é a velocidade da esfera no ponto mais baixo,
- $ r $ é o comprimento do fio.
No ponto mais baixo, a tensão no fio é a soma do peso da esfera e da força centrípeta:
Passo 4
Sabemos que a tensão máxima que o fio pode suportar é quatro terços do peso da esfera:
Para garantir que o fio não quebre, a tensão no ponto mais baixo não pode exceder essa tensão máxima:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ m $ (já que $ m \neq 0 $):
Passo 5
Vamos reorganizar a desigualdade para encontrar uma relação entre $ v^2 $ e $ g $:
Multiplicando ambos os lados por $ r $:
Passo 6
Agora, precisamos relacionar a velocidade $ v $ com o ângulo máximo $ \theta $ que a esfera é levantada. Quando a esfera é solta do repouso a partir do ângulo $ \theta $, a energia potencial gravitacional se converte em energia cinética no ponto mais baixo.
A altura $ h $ que a esfera desce é:
A energia potencial perdida é igual à energia cinética adquirida:
Substituindo $ h $:
Podemos cancelar $ m $ dos dois lados:
Passo 7
Agora, substituímos $ v^2 $ da equação anterior na desigualdade que encontramos:
De:
Substituindo:
Podemos cancelar $ g $ e $ r $ dos dois lados:
Passo 8
Resolvendo para $ \cos(\theta) $:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 9
Agora, para encontrar o ângulo $ \theta $, tiramos o arco cosseno de $ \frac{5}{6} $:
Calculando esse valor:
Resposta
O ângulo máximo em relação à vertical é aproximadamente 33,56 graus.