Uma pequena esfera de chumbo está suspensa por meio de um fio ideal ligado ao teto. Sabendo que o fio aguenta uma tensão de apenas quatro terços do peso da esfera, qual o ângulo máximo em relação à vertical sob o qual é possível erguer a massa (com o fio esticado) e soltá-la à partir do repouso para que este fio não quebre ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória pendular (dica: use a dinâmica de movimento circular para relacionar as forças envolvidas).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos uma esfera de chumbo presa por um fio que pode aguentar no máximo quatro terços do peso da esfera. A pergunta é: qual é o ângulo máximo que a gente pode levantar essa esfera em relação à vertical e soltá-la sem que o fio quebre quando a esfera passar pelo ponto mais baixo do seu movimento pendular.
Vamos precisar usar conhecimentos de dinâmica de movimento circular, que envolve forças como tensão no fio e peso da esfera, além de entender como essas forças se comportam quando a esfera está se movendo em um arco.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na esfera quando ela está no ponto mais baixo da trajetória pendular. Nesse ponto, existem duas forças principais:
  1. Peso da esfera §: que é igual a massa da esfera vezes a aceleração da gravidade, $ P = m \cdot g $.
  2. Tensão no fio (T): que puxa a esfera para cima.
No ponto mais baixo, a tensão no fio não apenas equilibra o peso da esfera, mas também fornece a força centrípeta necessária para manter a esfera em movimento circular.

Passo 3

Vamos lembrar que a força centrípeta ($ F_c $) necessária para manter um objeto em movimento circular é dada por:
Fc
onde:
  • $ m $ é a massa da esfera,
  • $ v $ é a velocidade da esfera no ponto mais baixo,
  • $ r $ é o comprimento do fio.
No ponto mais baixo, a tensão no fio é a soma do peso da esfera e da força centrípeta:
Fc = m cdot v^2r
m

Passo 4

Sabemos que a tensão máxima que o fio pode suportar é quatro terços do peso da esfera:
Tmáx = 43 cdot P = 43 cdot m cdot g á
Para garantir que o fio não quebre, a tensão no ponto mais baixo não pode exceder essa tensão máxima:
m cdot g + m cdot v^2r <= 43 cdot m cdot g
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ m $ (já que $ m \neq 0 $):
m

Passo 5

Vamos reorganizar a desigualdade para encontrar uma relação entre $ v^2 $ e $ g $:
v^2
g
Multiplicando ambos os lados por $ r $:
v^2r <= 43 cdot g - g

Passo 6

Agora, precisamos relacionar a velocidade $ v $ com o ângulo máximo $ \theta $ que a esfera é levantada. Quando a esfera é solta do repouso a partir do ângulo $ \theta $, a energia potencial gravitacional se converte em energia cinética no ponto mais baixo.
A altura $ h $ que a esfera desce é:
v
A energia potencial perdida é igual à energia cinética adquirida:
theta
Substituindo $ h $:
theta
Podemos cancelar $ m $ dos dois lados:
h

Passo 7

Agora, substituímos $ v^2 $ da equação anterior na desigualdade que encontramos:
v^2
De:
v^2 <= 13 cdot g cdot r
Substituindo:
v^2 = 2 cdot g cdot r (1 - cos(theta))
Podemos cancelar $ g $ e $ r $ dos dois lados:
2 cdot g cdot r (1 - cos(theta)) <= 13 cdot g cdot r

Passo 8

Resolvendo para $ \cos(\theta) $:
cos(theta)
Dividindo ambos os lados por 2:
2 (1 - cos(theta)) <= 13
1 - cos(theta) <= 16
cos(theta) >= 1 - 16

Passo 9

Agora, para encontrar o ângulo $ \theta $, tiramos o arco cosseno de $ \frac{5}{6} $:
theta
Calculando esse valor:
56

Resposta

O ângulo máximo em relação à vertical é aproximadamente 33,56 graus.

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