Três forças, \vec{F}_{1}=200 \hat{\imath} \mathrm{~N}, \vec{F}_{2}=150 \hat{\jmath} \mathrm{~N} e \vec{F}_{3}=-159,7 \hat{\imath}-120,4 \hat{\jmath} \mathrm{~N} são exercidas sobre um objeto. (a) Determine o módulo e a direção da resultante do sistema de forças. (b) Considerando a massa do objeto igual a 2,0 \mathrm{~kg}, quais são os componentes da aceleração? (c) Encontre o módulo e a direção da aceleração total que age sobre o objeto.

Passo 1

O enunciado nos dá três forças aplicadas a um objeto e pede: (a) módulo e direção da resultante; (b) componentes da aceleração sabendo que a massa é 2,0\\ \mathrm{kg}; (c) módulo e direção da aceleração total. Os dados fornecidos são (pego diretamente do enunciado):
  • \vec{F}_1 = 200\hat{\imath}\\ \mathrm{N}.
  • \vec{F}_2 = 150\hat{\jmath}\\ \mathrm{N}.
  • \vec{F}_3 = -159,7\hat{\imath} -120,4\hat{\jmath}\\ \mathrm{N}.
  • m = 2,0\\ \mathrm{kg}.
As perguntas específicas:
(a) calcular o módulo e a direção da resultante \vec{R}=\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3;
(b) calcular os componentes da aceleração \vec{a} (isto é, a_x e a_y);
(c) calcular o módulo e a direção de \vec{a}.

Passo 2

Como somar vetores em componentes (aula rápida e prática).
  • Ideia: soma-se componente a componente. Se \vec{F}_i = F_{i,x}\hat{\imath}+F_{i,y}\hat{\jmath}, então
\vec{R} = \sum_{i}\vec{F}_i = \Big(\sum_i F_{i,x}\Big)\hat{\imath} + \Big(\sum_i F_{i,y}\Big)\hat{\jmath}.
Aqui cada símbolo significa:
  • F_{i,x}: componente na direção x da i-ésima força (em \mathrm{N});
  • F_{i,y}: componente na direção y da i-ésima força (em \mathrm{N});
  • \hat{\imath},\hat{\jmath}: versores das direções x e y.
Aplicando aos valores dados:
  • Componentes x:
R_x = 200 + (-159,7) = 40,3\\ \mathrm{N}.
  • Componentes y:
R_y = 0 + 150 + (-120,4) = 29,6\\ \mathrm{N}.
Portanto
\vec{R} = 40,3\hat{\imath} + 29,6\hat{\jmath}\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Módulo da resultante (fórmula e cálculo passo a passo).
  • Fórmula (teorema de Pitágoras para componentes):
R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2},
onde R_x e R_y são as componentes calculadas acima, e R tem unidades de \mathrm{N}.
Substituindo os números:
R_x^2 = (40,3)^2 = 1624,09,
R_y^2 = (29,6)^2 = 876,16,
R^2 = 1624,09 + 876,16 = 2500,25.
Assim
R = \sqrt{2500,25} \approx 50,0025\\ \mathrm{N}.
Arredondando sensivelmente (dados com três algarismos em massa e forças): R \approx 50,0\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Direção da resultante (explicação do ângulo e cálculo).
  • Definição: o ângulo \theta da resultante é medido a partir do eixo +x e satisfaz
\theta = \arctan\!\left(\frac{R_y}{R_x}\right).
Aqui R_x>0 e R_y>0, então o vetor está no primeiro quadrante e a fórmula acima dá o ângulo correto no intervalo (0^\circ,90^\circ).
Calcule a razão:
\frac{R_y}{R_x} = \frac{29,6}{40,3} \approx 0,734.
Portanto
\theta = \arctan(0,734) \approx 36,4^\circ.
(Se preferir em radianos: \theta \approx 0,635\\ \mathrm{rad}.)

Passo 5

Do vetor resultante para a aceleração (lembrete de física e aplicação).
  • Lei de Newton (segunda lei): \vec{R} = m\vec{a}. Isso significa que a aceleração é
\vec{a} = \frac{\vec{R}}{m}.
Componentes: a_x = R_x/m e a_y = R_y/m. Aqui m é a massa em \mathrm{kg}, e as componentes de \vec{a} estarão em \mathrm{m\,s^{-2}}.
Com m=2,0\\ \mathrm{kg}:
a_x = \frac{40,3}{2,0} = 20,15\\ \mathrm{m\,s^{-2}},
a_y = \frac{29,6}{2,0} = 14,8\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Portanto
\vec{a} = 20,15\hat{\imath} + 14,8\hat{\jmath}\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.

Passo 6

Módulo e direção da aceleração (duas maneiras e verificação).
  • Modo direto usando a = R/m:
a = \frac{R}{m} \approx \frac{50,0025}{2,0} \approx 25,00125\\ \mathrm{m\,s^{-2}} \approx 25,0\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
  • Verificação via componentes:
a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(20,15)^2 + (14,8)^2}\approx \sqrt{406,0225 + 219,04} = \sqrt{625,0625}\approx 25,00125,
mesmo valor (consistência OK).
Direção: a aceleração tem a mesma direção da resultante (porque \vec{a} é paralela a \vec{R}), portanto
\theta_a = \theta \approx 36,4^\circ.

Resposta

(a) R \approx 50,0\\ \mathrm{N}, direção \theta \approx 36,4^\circ (medida a partir do eixo +x).
(b) a_x = 20,15\\ \mathrm{m\,s^{-2}},\quad a_y = 14,8\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
(c) a \approx 25,0\\ \mathrm{m\,s^{-2}},\quad direção \theta_a \approx 36,4^\circ.

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