a) Encontre \frac{d x}{d t} \mathrm{e} \frac{d y}{d t}.
b) Determine os pontos de C onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
c) Use sua resposta no item a) para calcular o comprimento de C. [note que o elemento de comprimento sobre a curva é \sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}} ].
d) Calcule a área da região entre a curva e o eixo x (isto é, eixo das abscissas).
As perguntas são:
a) Encontrar \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}.
b) Determinar os pontos de C onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
c) Calcular o comprimento de C usando o elemento de comprimento \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}.
d) Calcular a área da região entre a curva e o eixo x (abscissas).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}. Lembrete rápido das regras de derivação que usamos aqui:
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(1-\cos t\bigr)=0-(-\operatorname{sen} t)=\operatorname{sen} t.
Assim temos \dfrac{dx}{dt}=1-\cos t e \dfrac{dy}{dt}=\operatorname{sen} t.
Passo 3
Para localizar tangentes horizontal e vertical, lembramos:
A inclinação da tangente é \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt} sempre que dx/dt\neq 0.
Tangente horizontal ocorre quando \dfrac{dy}{dx}=0, isto é, quando \dfrac{dy}{dt}=0 e dx/dt\neq 0.
Tangente vertical ocorre quando \dfrac{dy}{dx} tende a infinito, frequentemente quando dx/dt=0 e \dfrac{dy}{dt}\neq 0. Se ambos dx/dt e dy/dt são zero num ponto, precisamos analisar o limite \lim_{t\to t_0}\dfrac{dy}{dx}.
Passo 4
Resolvemos \dfrac{dy}{dt}=\operatorname{sen} t=0 no intervalo 0\le t\le\pi. As soluções são t=0 e t=\pi.
Usamos identidades trigonométricas para simplificar: 1-\cos t=2\operatorname{sen}^2\!\tfrac{t}{2} e \operatorname{sen} t=2\operatorname{sen}\!\tfrac{t}{2}\cos\!\tfrac{t}{2}. Assim
Finalmente a área entre a curva e o eixo x. Para uma curva parametrizada por t\in[a,b] com x(t) monotônica crescente (ou seja dx/dt\ge 0), a área abaixo da curva e acima do eixo x é
A=\int_a^b y\,\frac{dx}{dt}\,dt.
Verificamos que dx/dt=1-\cos t\ge 0 em [0,\pi], então aplicamos a fórmula:
a) \dfrac{dx}{dt}=1-\cos t,\quad \dfrac{dy}{dt}=\operatorname{sen} t
b) tangente horizontal em (\pi,2); tangente vertical em (0,0)
c) comprimento L=4
d) área A=\dfrac{3\pi}{2}