Uma curva C no plano é descrita pelas equações paramétricas
x=t-\operatorname{sen} t, \quad y=1-\cos t, \quad 0 \leq t \leq \pi
a) Encontre \frac{d x}{d t} \mathrm{e} \frac{d y}{d t}.
b) Determine os pontos de C onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
c) Use sua resposta no item a) para calcular o comprimento de C. [note que o elemento de comprimento sobre a curva é \sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}} ].
d) Calcule a área da região entre a curva e o eixo x (isto é, eixo das abscissas).

Passo 1

O enunciado dá a curva C por parametrização
x(t)=t-\operatorname{sen} t,\qquad y(t)=1-\cos t,\qquad 0\le t\le \pi.
As perguntas são:
a) Encontrar \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}.
b) Determinar os pontos de C onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
c) Calcular o comprimento de C usando o elemento de comprimento \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}.
d) Calcular a área da região entre a curva e o eixo x (abscissas).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}. Lembrete rápido das regras de derivação que usamos aqui:
  • \dfrac{d}{dt}(\operatorname{sen} t)=\cos t.
  • \dfrac{d}{dt}(\cos t)=-\operatorname{sen} t.
  • \dfrac{d}{dt}(t)=1.
Aplicando termo a termo:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t-\operatorname{sen} t\bigr)=1-\cos t,
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(1-\cos t\bigr)=0-(-\operatorname{sen} t)=\operatorname{sen} t.
Assim temos \dfrac{dx}{dt}=1-\cos t e \dfrac{dy}{dt}=\operatorname{sen} t.

Passo 3

Para localizar tangentes horizontal e vertical, lembramos:
  • A inclinação da tangente é \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt} sempre que dx/dt\neq 0.
  • Tangente horizontal ocorre quando \dfrac{dy}{dx}=0, isto é, quando \dfrac{dy}{dt}=0 e dx/dt\neq 0.
  • Tangente vertical ocorre quando \dfrac{dy}{dx} tende a infinito, frequentemente quando dx/dt=0 e \dfrac{dy}{dt}\neq 0. Se ambos dx/dt e dy/dt são zero num ponto, precisamos analisar o limite \lim_{t\to t_0}\dfrac{dy}{dx}.

Passo 4

Resolvemos \dfrac{dy}{dt}=\operatorname{sen} t=0 no intervalo 0\le t\le\pi. As soluções são t=0 e t=\pi.
Avaliamoes dx/dt nesses pontos:
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=0}=1-\cos 0=1-1=0,
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=\pi}=1-\cos\pi=1-(-1)=2\neq 0.
Portanto:
  • Em t=\pi temos \dfrac{dy}{dt}=0 e dx/dt\neq 0, logo a tangente é horizontal neste ponto. As coordenadas correspondentes são
x(\pi)=\pi-\operatorname{sen}\pi=\pi,\qquad y(\pi)=1-\cos\pi=2,
ou seja o ponto (\pi,2).
  • Em t=0 tanto \dfrac{dy}{dt}=0 quanto \dfrac{dx}{dt}=0. Isso exige análise do limite da inclinação:
\frac{dy}{dx}=\frac{\operatorname{sen} t}{1-\cos t}.
Usamos identidades trigonométricas para simplificar: 1-\cos t=2\operatorname{sen}^2\!\tfrac{t}{2} e \operatorname{sen} t=2\operatorname{sen}\!\tfrac{t}{2}\cos\!\tfrac{t}{2}. Assim
\frac{dy}{dx}=\frac{2\operatorname{sen}(\tfrac{t}{2})\cos(\tfrac{t}{2})}{2\operatorname{sen}^2(\tfrac{t}{2})}=\frac{\cos(\tfrac{t}{2})}{\operatorname{sen}(\tfrac{t}{2})}=\cot\!\frac{t}{2}.
Tomando t\to 0^+ obtemos \cot\!\frac{t}{2}\to +\infty. Logo a inclinação tende a infinito e a tangente em t=0 é vertical. As coordenadas em t=0 são
x(0)=0-\operatorname{sen} 0=0,\qquad y(0)=1-\cos 0=0,
ou seja o ponto (0,0). Conclusão: tangente vertical em (0,0) e tangente horizontal em (\pi,2).

Passo 5

Agora calculamos o comprimento da curva. A fórmula do comprimento de uma curva parametrizada por t\in[a,b] é
L=\int_a^b \sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\,dt.
Substituindo \dfrac{dx}{dt}=1-\cos t e \dfrac{dy}{dt}=\operatorname{sen} t:
\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2=(1-\cos t)^2+\operatorname{sen}^2 t.
Desenvolvendo e simplificando:
(1-\cos t)^2+\operatorname{sen}^2 t=1-2\cos t+\cos^2 t+\operatorname{sen}^2 t=2-2\cos t=2(1-\cos t).
Usando 1-\cos t=2\operatorname{sen}^2\!\tfrac{t}{2} obtemos
2(1-\cos t)=4\operatorname{sen}^2\!\frac{t}{2},
portanto a raiz é
\sqrt{4\operatorname{sen}^2\!\frac{t}{2}}=2\left|\operatorname{sen}\!\frac{t}{2}\right|.
No intervalo 0\le t\le\pi temos \operatorname{sen}\!\frac{t}{2}\ge 0, logo a raiz é 2\operatorname{sen}\!\frac{t}{2}. Assim
L=\int_0^\pi 2\operatorname{sen}\!\frac{t}{2}\,dt.
Fazendo a substituição u=\tfrac{t}{2} ( dt=2du), limites: t=0\mapsto u=0, t=\pi\mapsto u=\tfrac{\pi}{2}:
L=2\int_0^\pi \operatorname{sen}\!\frac{t}{2}\,dt=2\cdot 2\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen} u\,du=4\bigl[-\cos u\bigr]_0^{\pi/2}=4(0-(-1))=4.
Portanto o comprimento de C é 4.

Passo 6

Finalmente a área entre a curva e o eixo x. Para uma curva parametrizada por t\in[a,b] com x(t) monotônica crescente (ou seja dx/dt\ge 0), a área abaixo da curva e acima do eixo x é
A=\int_a^b y\,\frac{dx}{dt}\,dt.
Verificamos que dx/dt=1-\cos t\ge 0 em [0,\pi], então aplicamos a fórmula:
A=\int_0^\pi \bigl(1-\cos t\bigr)\bigl(1-\cos t\bigr)\,dt=\int_0^\pi (1-\cos t)^2\,dt.
Expandindo:
(1-\cos t)^2=1-2\cos t+\cos^2 t.
Integramos termo a termo:
\int_0^\pi 1\,dt=\pi,
\int_0^\pi -2\cos t\,dt=-2\bigl[\operatorname{sen} t\bigr]_0^\pi=-2(0-0)=0,
\int_0^\pi \cos^2 t\,dt=\int_0^\pi \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt=\frac{1}{2}\Bigl[t+\frac{\operatorname{sen} 2t}{2}\Bigr]_0^\pi=\frac{1}{2}\Bigl(\pi+0\Bigr)=\frac{\pi}{2}.
Somando:
A=\pi+0+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}.

Resposta

a) \dfrac{dx}{dt}=1-\cos t,\quad \dfrac{dy}{dt}=\operatorname{sen} t
b) tangente horizontal em (\pi,2); tangente vertical em (0,0)
c) comprimento L=4
d) área A=\dfrac{3\pi}{2}

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