Um elevador de carga totalmente carregado tem massa total de 1200 kg , que deve içar 54 m em 3,0 minutos, iniciando e terminando a subida em repouso. O contrapeso do elevador tem massa de apenas 950 kg, e, portanto, o motor do elevador deve ajudar. Que potência média é exigida da força que o motor exerce sobre o elevador por meio do cabo?

Passo 1

O enunciado pede a potência média que o motor precisa fornecer ao elevador através do cabo. Dados fornecidos (vou colocá-los em unidades do SI):
  • massa total do elevador carregado: m_e = 1200\\ \text{kg}
  • massa do contrapeso: m_c = 950\\ \text{kg}
  • deslocamento vertical do elevador: h = 54\\ \text{m}
  • tempo da subida: t = 3{,}0\\ \text{min} = 180\\ \text{s}
  • o elevador parte do repouso e termina em repouso.
O que se pede: calcular a potência média fornecida pela força do motor (ou seja, trabalho médio por tempo realizado pelo motor sobre o elevador).

Passo 2

Ideia física que vamos usar (explicada com calma): quando um sistema começa e termina em repouso, a variação da energia cinética é zero. Pela conservação/teorema trabalho-energia, o trabalho total feito por todas as forças sobre o sistema é igual à variação de energia cinética. Como \Delta K=0, o trabalho total realizado pelas forças externas que atuam no conjunto (motor + gravidade) é zero. Isso implica que o trabalho realizado pelo motor deve cancelar o trabalho realizado pela gravidade.
Definições e sinais:
  • W_{\text{motor}} = trabalho realizado pelo motor sobre o elevador (o que queremos).
  • W_{\text{grav,e}} = trabalho da gravidade sobre o elevador quando ele sobe h.
  • W_{\text{grav,c}} = trabalho da gravidade sobre o contrapeso quando ele desce h.
Por teorema trabalho-energia:
W_{\text{motor}} + W_{\text{grav,e}} + W_{\text{grav,c}} = \Delta K = 0.
Logo,
W_{\text{motor}} = -\bigl(W_{\text{grav,e}} + W_{\text{grav,c}}\bigr).
Agora explico o sinal dos trabalhos da gravidade:
  • Para o elevador que sobe h, a força peso aponta para baixo e o deslocamento é para cima, então a gravidade realiza trabalho negativo: \,W_{\text{grav,e}} = -m_e g h.
  • Para o contrapeso que desce h, a força peso aponta para baixo e o deslocamento também é para baixo, então a gravidade realiza trabalho positivo: \,W_{\text{grav,c}} = +m_c g h.
Somando:
W_{\text{grav,e}} + W_{\text{grav,c}} = (-m_e g h) + (m_c g h) = -(m_e - m_c) g h.
Portanto
W_{\text{motor}} = -\bigl[-(m_e - m_c) g h\bigr] = (m_e - m_c) g h.
Interpretação física simples: o motor tem de fornecer trabalho equivalente à diferença de energia potencial entre o elevador e o contrapeso, isto é, elevar o excesso de massa m_e - m_c pela altura h.

Passo 3

Agora calculamos numericamente o trabalho requerido pelo motor. Primeiro a diferença de massas:
m_e - m_c = 1200\\ \text{kg} - 950\\ \text{kg} = 250\\ \text{kg}.
Usamos g = 9{,}8\\ \text{m/s}^2. O peso equivalente à diferença de massas é
(m_e - m_c)g = 250 \times 9{,}8 = 2450\\ \text{N}.
O trabalho W_{\text{motor}} para elevar essa diferença por h = 54\\ \text{m} é
W_{\text{motor}} = (m_e - m_c) g h = 2450 \times 54 = 132300\\ \text{J}.
Detalhe da multiplicação: 2450\times54 = 2450\times(50+4)=122500+9800=132300.

Passo 4

A potência média é o trabalho total dividido pelo tempo gasto. Logo
P_{\text{média}} = \frac{W_{\text{motor}}}{t} = \frac{132300\\ \text{J}}{180\\ \text{s}}.é
Fazendo a divisão:
P_{\text{média}} = 735\\ \text{W}.é
Observação didática: este é o valor médio. Na prática, durante a subida a força do motor pode variar (para acelerar no início e desacelerar no fim), mas o trabalho total e, portanto, a potência média exigida ao longo do processo é a calculada acima. Se fosse necessário, poderia-se usar g=9{,}81\\ \text{m/s}^2 e obter um número levemente diferente.

Passo 5

Resumo rápido para a prova (passo a passo que você pode escrever):
  1. Converter unidades: t=180\\ \text{s}.
  2. Calcular diferença de massa: m_e-m_c.
  3. Trabalho do motor: W=(m_e-m_c) g h.
  4. Potência média: P=W/t.
Força extra de motivação: está difícil agora, mas você já aprendeu a técnica que resolve muitas questões de elevadores e polias — pensar em energia e na diferença de potencial entre massa e contrapeso. Vai dar certo!

Resposta

735\\ \text{W}

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