Um elevador de carga totalmente carregado tem massa total de 1200 kg , que deve içar 54 m em 3,0 minutos, iniciando e terminando a subida em repouso. O contrapeso do elevador tem massa de apenas 950 kg, e, portanto, o motor do elevador deve ajudar. Que potência média é exigida da força que o motor exerce sobre o elevador por meio do cabo?
Passo 1
O enunciado pede a potência média que o motor precisa fornecer ao elevador através do cabo. Dados fornecidos (vou colocá-los em unidades do SI):
- massa total do elevador carregado:
- massa do contrapeso:
- deslocamento vertical do elevador:
- tempo da subida:
- o elevador parte do repouso e termina em repouso.
O que se pede: calcular a potência média fornecida pela força do motor (ou seja, trabalho médio por tempo realizado pelo motor sobre o elevador).
Passo 2
Ideia física que vamos usar (explicada com calma): quando um sistema começa e termina em repouso, a variação da energia cinética é zero. Pela conservação/teorema trabalho-energia, o trabalho total feito por todas as forças sobre o sistema é igual à variação de energia cinética. Como
, o trabalho total realizado pelas forças externas que atuam no conjunto (motor + gravidade) é zero. Isso implica que o trabalho realizado pelo motor deve cancelar o trabalho realizado pela gravidade.
Definições e sinais:
-
= trabalho realizado pelo motor sobre o elevador (o que queremos). -
= trabalho da gravidade sobre o elevador quando ele sobe . -
= trabalho da gravidade sobre o contrapeso quando ele desce .
Por teorema trabalho-energia:
Logo,
Agora explico o sinal dos trabalhos da gravidade:
- Para o elevador que sobe
, a força peso aponta para baixo e o deslocamento é para cima, então a gravidade realiza trabalho negativo: . - Para o contrapeso que desce
, a força peso aponta para baixo e o deslocamento também é para baixo, então a gravidade realiza trabalho positivo: .
Somando:
Portanto
Interpretação física simples: o motor tem de fornecer trabalho equivalente à diferença de energia potencial entre o elevador e o contrapeso, isto é, elevar o excesso de massa
pela altura
.
Passo 3
Agora calculamos numericamente o trabalho requerido pelo motor. Primeiro a diferença de massas:
Usamos
. O peso equivalente à diferença de massas é
O trabalho
para elevar essa diferença por
é
Detalhe da multiplicação:
.
Passo 4
A potência média é o trabalho total dividido pelo tempo gasto. Logo
Fazendo a divisão:
Observação didática: este é o valor médio. Na prática, durante a subida a força do motor pode variar (para acelerar no início e desacelerar no fim), mas o trabalho total e, portanto, a potência média exigida ao longo do processo é a calculada acima. Se fosse necessário, poderia-se usar
e obter um número levemente diferente.
Passo 5
Resumo rápido para a prova (passo a passo que você pode escrever):
- Converter unidades:
. - Calcular diferença de massa:
. - Trabalho do motor:
. - Potência média:
.
Força extra de motivação: está difícil agora, mas você já aprendeu a técnica que resolve muitas questões de elevadores e polias — pensar em energia e na diferença de potencial entre massa e contrapeso. Vai dar certo!