Você está pedalando uma bicicleta sobre uma superfície horizontal em um círculo de 20 m de raio. A força resultante exercida pelas superfície sobre a bicicleta (força normal mais a força de atrito) forma um ângulo de
com a vertical. (a) Qual é sua rapidez? (b) se a força de atrito sobre a bicicleta tem a metade de seu valor máximo possível, qual é o coeficiente de atrito estático?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- O raio da trajetória circular é
. - A força resultante da superfície sobre a bicicleta (ou seja, a soma da força normal
e da força de atrito estático ) faz um ângulo de com a vertical. - Em (b) é dito que a força de atrito tem a metade do seu valor máximo possível (ou seja,
, onde ).
- O raio da trajetória circular é
-
O que o enunciado pede:
- (a) Qual é a rapidez
da bicicleta. - (b) Se
, qual é o coeficiente de atrito estático .
- (a) Qual é a rapidez
Passo 2
Desenho mental do diagrama de forças e definição de variáveis (sem resolver ainda).
- Forças que atuam sobre a bicicleta (na vertical plana do problema):
- o peso para baixo:
(onde é a massa do conjunto bicicleta+piloto e a aceleração da gravidade). - a força normal
para cima (vertical). - a força de atrito estático
horizontal, dirigida para o centro da curva (ela fornece a componente centrípeta).
- o peso para baixo:
- A resultante
das forças da superfície é a soma vetorial (usando vertical para cima e horizontal para o centro). Pelo enunciado, faz com a vertical. - Definições das incógnitas e constantes:
-
: rapidez procurada. -
: raio. -
: use . -
: coeficiente de atrito estático procurado em (b).
-
Passo 3
Relacionando a geometria da resultante com as componentes
e
.
- A resultante
tem componente vertical e componente horizontal . - Como
faz com a vertical: - Verticalmente a bicicleta não acelera (movimento sobre superfície horizontal com velocidade constante em altura), logo há equilíbrio vertical:
Observação: isso é importante — o normal equilibra o peso porque não há aceleração vertical.
Passo 4
Expressar a força centrípeta e deduzir uma fórmula para a rapidez
.
- A única força horizontal que aponta para o centro é a força de atrito estático
; essa é a força centrípeta necessária para manter o movimento circular: - Podemos relacionar
com usando a tangente do ângulo de . Do triângulo formado por e : - Substituindo
nessa relação: - Igualando com a expressão centrípeta:
Cancelando : Portanto:
Passo 5
Cálculo numérico de
.
- Vamos avaliar
. Uma expressão exata é . - Substituindo
e : - Calcule passo a passo:
Passo 6
Resolver a parte (b): relacionar o atrito real com o máximo e achar
.
- Sabemos que o atrito requerido para fornecer a força centrípeta é
(obtido no Passo 4). - O valor máximo de atrito estático que pode aparecer é
. Como , isso é . - O enunciado diz que a força de atrito tem a metade do seu valor máximo possível:
- Igualando com a expressão do atrito necessária:
Cancelando : Portanto:
Passo 7
Cálculo numérico de
.
- Usando
: - Interpretação curta: isso significa que, para a situação descrita (resultado inclinado
), se o atrito disponível máximo fosse , e na prática o atrito atuante fosse metade desse máximo, então teria que ser aproximadamente .
Resposta
(a)
(b)