Você está pedalando uma bicicleta sobre uma superfície horizontal em um círculo de 20 m de raio. A força resultante exercida pelas superfície sobre a bicicleta (força normal mais a força de atrito) forma um ângulo de 15^{\circ} com a vertical. (a) Qual é sua rapidez? (b) se a força de atrito sobre a bicicleta tem a metade de seu valor máximo possível, qual é o coeficiente de atrito estático?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • O raio da trajetória circular é \,r=20\\ \mathrm{m}.
    • A força resultante da superfície sobre a bicicleta (ou seja, a soma da força normal \,N e da força de atrito estático \,f) faz um ângulo de \,15^\circ com a vertical.
    • Em (b) é dito que a força de atrito tem a metade do seu valor máximo possível (ou seja, f=\tfrac{1}{2} f_{\max}, onde f_{\max}=\mu_s N).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Qual é a rapidez \,v da bicicleta.
    • (b) Se \,f=\tfrac{1}{2}f_{\max}, qual é o coeficiente de atrito estático \,\mu_s.

Passo 2

Desenho mental do diagrama de forças e definição de variáveis (sem resolver ainda).
  • Forças que atuam sobre a bicicleta (na vertical plana do problema):
    • o peso para baixo: \,mg (onde \,m é a massa do conjunto bicicleta+piloto e \,g a aceleração da gravidade).
    • a força normal \,N para cima (vertical).
    • a força de atrito estático \,f horizontal, dirigida para o centro da curva (ela fornece a componente centrípeta).
  • A resultante \,R das forças da superfície é a soma vetorial \,R=N\hat{y}+f\hat{x} (usando \hat{y} vertical para cima e \hat{x} horizontal para o centro). Pelo enunciado, \,R faz \,15^\circ com a vertical.
  • Definições das incógnitas e constantes:
    • \,v: rapidez procurada.
    • \,r=20\\ \mathrm{m}: raio.
    • \,g: use \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
    • \,\mu_s: coeficiente de atrito estático procurado em (b).

Passo 3

Relacionando a geometria da resultante com as componentes N e f.
  • A resultante \,R tem componente vertical R_v=N e componente horizontal R_h=f.
  • Como \,R faz \,15^\circ com a vertical: \cos(15^\circ)=\frac{R_v}{R}=\frac{N}{R}, \qquad \sin(15^\circ)=\frac{R_h}{R}=\frac{f}{R}.
  • Verticalmente a bicicleta não acelera (movimento sobre superfície horizontal com velocidade constante em altura), logo há equilíbrio vertical: N = mg.Observação: isso é importante — o normal equilibra o peso porque não há aceleração vertical.

Passo 4

Expressar a força centrípeta e deduzir uma fórmula para a rapidez \,v.
  • A única força horizontal que aponta para o centro é a força de atrito estático \,f; essa é a força centrípeta necessária para manter o movimento circular: f = m \frac{v^2}{r}.
  • Podemos relacionar f com N usando a tangente do ângulo de \,15^\circ. Do triângulo formado por N e f: \tan(15^\circ)=\frac{f}{N}.
  • Substituindo N=mg nessa relação: f = mg \tan(15^\circ).
  • Igualando com a expressão centrípeta: m\frac{v^2}{r} = mg \tan(15^\circ).Cancelando \,m: \frac{v^2}{r} = g \tan(15^\circ).Portanto: v = \sqrt{r g \tan(15^\circ)}.

Passo 5

Cálculo numérico de \,v.
  • Vamos avaliar \tan(15^\circ). Uma expressão exata é \tan(15^\circ)=2-\sqrt{3}\approx 0{,}267949.
  • Substituindo r=20\\ \mathrm{m} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}: v = \sqrt{20\cdot 9{,}8 \cdot \tan(15^\circ)} = \sqrt{20\cdot 9{,}8 \cdot 0{,}267949}.
  • Calcule passo a passo: 9{,}8\cdot 0{,}267949 \approx 2{,}626, \qquad 20\cdot 2{,}626 \approx 52{,}52.
v \approx \sqrt{52{,}52}\approx 7{,}24\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Resolver a parte (b): relacionar o atrito real com o máximo e achar \,\mu_s.
  • Sabemos que o atrito requerido para fornecer a força centrípeta é f = mg \tan(15^\circ) (obtido no Passo 4).
  • O valor máximo de atrito estático que pode aparecer é f_{\max}=\mu_s N. Como N=mg, isso é f_{\max}=\mu_s mg.
  • O enunciado diz que a força de atrito tem a metade do seu valor máximo possível: f = \tfrac{1}{2} f_{\max} = \tfrac{1}{2}\mu_s mg.
  • Igualando com a expressão do atrito necessária: mg \tan(15^\circ) = \tfrac{1}{2}\mu_s mg.Cancelando mg: \tan(15^\circ) = \tfrac{1}{2}\mu_s.Portanto: \mu_s = 2 \tan(15^\circ).

Passo 7

Cálculo numérico de \,\mu_s.
  • Usando \tan(15^\circ)\approx 0{,}267949: \mu_s = 2\cdot 0{,}267949 \approx 0{,}535898 \approx 0{,}536.
  • Interpretação curta: isso significa que, para a situação descrita (resultado inclinado 15^\circ), se o atrito disponível máximo fosse \mu_s N, e na prática o atrito atuante fosse metade desse máximo, então \mu_s teria que ser aproximadamente 0{,}536.

Resposta

(a) v \approx 7,24\\ \mathrm{m/s}
(b) \mu_s \approx 0,536

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