Um bloco de gelo de massa
é posto para escorregar sobre uma cunha de superfície lisa de massa
que, por sua vez, é suportada por um plano liso horizontal. Não há atrito entre quaisquer das superfícies de contato entre os corpos mencionados. (a) Sabendo que o plano da cunha tem uma inclinação
com relação à horizontal, determine a aceleração da cunha e do bloco em relação ao referencial inercial (2.5). (b) O que acontece quando
tende ao infinito? (0.5)
Passo 1
O enunciado descreve um bloco de massa
que desliza, sem atrito, sobre uma cunha de massa
. A cunha pode mover-se livremente, sem atrito, sobre o plano horizontal. A face inclinada da cunha forma ângulo
com a horizontal. Queremos as acelerações da cunha e do bloco no referencial inercial.
Passo 2
Definimos duas coordenadas generalizadas:
posição horizontal da cunha e
distância medida ao longo do plano inclinado desde o vértice (positivo para baixo). Em função delas, as coordenadas do bloco são
onde
é a altura inicial (constante irrelevante para a dinâmica). As velocidades são
O lagrangiano é
com
Passo 3
Calculamos as equações de Euler–Lagrange em
e em
. Dos cálculos surge o sistema
Passo 4
Da primeira equação isolamos
e substituímos na segunda. O resultado para a aceleração da cunha é
que indica que a cunha acelera horizontalmente para a esquerda (sinal negativo) com módulo
Passo 5
Para o bloco, a aceleração ao longo do plano é
Em componentes no referencial inercial:
Passo 6
Tomando o limite
, a cunha fica praticamente fixa (
) e o bloco escorrega com
isto é, exatamente como num plano inclinado imóvel.
Resposta
A aceleração da cunha vale
e a do bloco, em coordenadas horizontais e verticais, é
Quando
,
e o bloco desliza com
.