Um bloco de gelo de massa m é posto para escorregar sobre uma cunha de superfície lisa de massa M que, por sua vez, é suportada por um plano liso horizontal. Não há atrito entre quaisquer das superfícies de contato entre os corpos mencionados. (a) Sabendo que o plano da cunha tem uma inclinação \theta com relação à horizontal, determine a aceleração da cunha e do bloco em relação ao referencial inercial (2.5). (b) O que acontece quando M tende ao infinito? (0.5)

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m que desliza, sem atrito, sobre uma cunha de massa M. A cunha pode mover-se livremente, sem atrito, sobre o plano horizontal. A face inclinada da cunha forma ângulo \theta com a horizontal. Queremos as acelerações da cunha e do bloco no referencial inercial.

Passo 2

Definimos duas coordenadas generalizadas: x = posição horizontal da cunha e u = distância medida ao longo do plano inclinado desde o vértice (positivo para baixo). Em função delas, as coordenadas do bloco são
x_b = x + u\cos\theta,\quad y_b = H - u\sin\theta,
onde H é a altura inicial (constante irrelevante para a dinâmica). As velocidades são
\dot x_b = \dot x + \dot u\cos\theta,\quad \dot y_b = -\dot u\sin\theta.
O lagrangiano é L=T-U com
T=\tfrac12M\dot x^2+\tfrac12m\bigl(\dot x_b^2+\dot y_b^2\bigr) \quad\text{e}\quad U=m g\,y_b.

Passo 3

Calculamos as equações de Euler–Lagrange em x e em u. Dos cálculos surge o sistema
(M+m)\,\ddot x + m\cos\theta\,\ddot u = 0,
\ddot u + \cos\theta\,\ddot x = g\sin\theta.

Passo 4

Da primeira equação isolamos \ddot u e substituímos na segunda. O resultado para a aceleração da cunha é
\ddot x = -\,\frac{m g\sin\theta\cos\theta}{M + m\sin^2\theta},
que indica que a cunha acelera horizontalmente para a esquerda (sinal negativo) com módulo
a_{\rm cunha} =\frac{m g\sin\theta\cos\theta}{M + m\sin^2\theta}.

Passo 5

Para o bloco, a aceleração ao longo do plano é
\ddot u = g\sin\theta - \cos\theta\,\ddot x = g\sin\theta\,\frac{M + m}{M + m\sin^2\theta}.
Em componentes no referencial inercial:
a_{bx} = \ddot x + \ddot u\cos\theta = \frac{gM\sin\theta\cos\theta}{M + m\sin^2\theta}, \quad a_{by} = -\,\ddot u\sin\theta = -\,\frac{g\,(M + m)\sin^2\theta}{M + m\sin^2\theta}.

Passo 6

Tomando o limite M\to\infty, a cunha fica praticamente fixa ( a_{\rm cunha}\to0) e o bloco escorrega com
\ddot u \to g\sin\theta,
isto é, exatamente como num plano inclinado imóvel.

Resposta

A aceleração da cunha vale
a_{\rm cunha} =\frac{m g\sin\theta\cos\theta}{M + m\sin^2\theta} \quad(\text{para a esquerda}),
e a do bloco, em coordenadas horizontais e verticais, é
a_{bx} =\frac{gM\sin\theta\cos\theta}{M + m\sin^2\theta},\quad a_{by} =-\,\frac{g\,(M + m)\sin^2\theta}{M + m\sin^2\theta}.
Quando M\to\infty, a_{\rm cunha}\to0 e o bloco desliza com \ddot u\to g\sin\theta.

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