( 2,0 pontos) Em um experimento de laboratório, um corpo aquecido a 90^{\circ} \mathrm{C} foi deixado para resfriar em um ambiente com temperatura constante de 25^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura do corpo foi medida em intervalos regulares de tempo e os dados foram plotados em um gráfico \mathrm{T}(\mathrm{t}) vs. t. O
gráfico obtido mostrou um comportamento exponencial decrescente, conforme previsto pela Lei do Resfriamento de Newton:
\mathrm{T}(\mathrm{t})=\mathrm{T}_{\mathrm{a}}+\left(\mathrm{T}_{0}-\mathrm{T}_{\mathrm{a}}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{kt}}
onde \mathrm{T}(\mathrm{t}) é a temperatura do corpo no tempo \mathrm{t}, \mathrm{T}_{\mathrm{a}} é a temperatura ambiente, \mathrm{T}_{0} é a temperatura inicial e k é a constante de resfriamento.
Com base nos dados que vocês coletaram no experimento e na equação fornecida, responda:
a) Como você pode determinar experimentalmente a constante k a partir do gráfico?
b) Se o gráfico de \ln (\mathrm{T}-\mathrm{Ta}) em função do tempo for plotado, qual comportamento você espera encontrar? Explique como esse gráfico pode ser utilizado para determinar k.

Passo 1

O enunciado trata do resfriamento de um corpo segundo a Lei de Newton, cuja temperatura no tempo t é
T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-k t},
onde T_a=25{}^\circ\mathrm{C} é a temperatura ambiente, T_0=90{}^\circ\mathrm{C} é a temperatura inicial e k é a constante que queremos determinar. Vamos usar os dados experimentais de T versus t para encontrar k.

Passo 2

Para determinar k diretamente a partir dos dados de T(t), escolhemos dois instantes quaisquer t_1 e t_2 com as temperaturas correspondentes T_1=T(t_1) e T_2=T(t_2). Subtraímos a temperatura ambiente de cada medida, obtendo
T_1 - T_a=(T_0-T_a)e^{-k t_1},\quad T_2 - T_a=(T_0-T_a)e^{-k t_2}.
Fazendo a razão
\frac{T_1 - T_a}{T_2 - T_a} =e^{-k(t_1 - t_2)},
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k = \frac{1}{t_2 - t_1}\ln\!\biggl(\frac{T_1 - T_a}{T_2 - T_a}\biggr).
Inserindo os valores medidos, você obtém experimentalmente k.

Passo 3

Se plotarmos
\ln\bigl(T(t)-T_a\bigr)
em função de t, usamos a transformação
\ln\bigl(T(t)-T_a\bigr) =\ln(T_0-T_a)-k\,t,
que é a equação de uma reta de coeficiente angular -k. Portanto, espera-se um comportamento linear decrescente. Basta ajustar uma reta aos pontos \bigl(t,\ln(T-T_a)\bigr) e tomar
\text{slope}=-k
para determinar k.

Resposta

a) A constante k pode ser obtida escolhendo dois pontos (t_1,T_1) e (t_2,T_2) no gráfico de T versus t e usando
k=\frac{1}{t_2-t_1}\ln\!\biggl(\frac{T_1-T_a}{T_2-T_a}\biggr).
b) Ao plotar \ln(T-T_a) versus t, você deve observar uma reta decrescente. O coeficiente angular dessa reta é -k, de onde k é dado pelo valor absoluto do slope.

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