A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por \theta=4,0 t-3,0 t^{2}+2,0 t^{3}, onde \theta está em radianos e tem segundos. Qual é a velocidade angular em (a) t=2,0 s e (b) t=4,0 s ? (c) Qual é a aceleração angular média no intervalo de tempo que começa em t=2,0 s e termina em t=4,0 s ?
Qual é a aceleração angular instantânea (d) no início e (e) no fim deste intervalo?

Passo 1

O enunciado dá a posição angular de uma roda como
\displaystyle \theta(t)=4,0\,t -3,0\,t^{2}+2,0\,t^{3},
com \theta em radianos e t em segundos. Pede-se:
(a) a velocidade angular \omega em t=2,0 s e em t=4,0 s;
(c) a aceleração angular média entre t=2,0 s e t=4,0 s;
(d) e (e) a aceleração angular instantânea no início e no fim desse intervalo.
Para isso vamos usar derivação para achar \omega(t) e \alpha(t) e diferença de \omega para \alpha_{\rm m}.

Passo 2

A velocidade angular instantânea é a derivada de \theta(t). Aplicando
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}
a cada termo obtemos
\omega(t) = \frac{d}{dt}\bigl(4,0\,t\bigr) - \frac{d}{dt}\bigl(3,0\,t^{2}\bigr) + \frac{d}{dt}\bigl(2,0\,t^{3}\bigr) =4,0 -6,0\,t +6,0\,t^{2}.

Passo 3

Substituímos t=2,0 s e t=4,0 s em \omega(t):
\omega(2,0) =4,0 -6,0\times2,0 +6,0\times(2,0)^{2} =4,0 -12,0 +24,0 =16\quad\text{rad/s},
\omega(4,0) =4,0 -6,0\times4,0 +6,0\times(4,0)^{2} =4,0 -24,0 +96,0 =76\quad\text{rad/s}.

Passo 4

A aceleração angular média no intervalo de t_{1}=2,0 s a t_{2}=4,0 s é
\alpha_{\rm m} =\frac{\omega(4,0)-\omega(2,0)}{4,0-2,0} =\frac{76-16}{2,0} =\frac{60}{2,0} =30\quad\text{rad/s}^{2}.

Passo 5

A aceleração angular instantânea é a derivada de \omega(t):
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(4,0 -6,0\,t +6,0\,t^{2}\bigr) =-6,0 +12,0\,t.

Passo 6

Avaliam-se \alpha(t) em t=2,0 s e t=4,0 s:
\alpha(2,0)=-6,0+12,0\times2,0=18\quad\text{rad/s}^{2},
\alpha(4,0)=-6,0+12,0\times4,0=42\quad\text{rad/s}^{2}.

Resposta

(a) 16 rad/s
(b) 76 rad/s
(c) 30 rad/s ^2
(d) 18 rad/s ^2
(e) 42 rad/s ^2

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