Um bloco de gelo de 8,0 \mathrm{~kg} é liberado a partir do repouso no topo de uma rampa sem atrito de comprimento igual a 1,50 \mathrm{~m} e desliza para baixo atingindo uma velocidade de 2,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na base da rampa.
(a) Qual é o ângulo entre a rampa e a horizontal?
(b) Qual seria a velocidade escalar do gelo na base, se o movimento sofresse a oposição de uma força de atrito constante de 10,0 \mathrm{~N} paralela à superfície da rampa?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (dados pegados do enunciado):
  • Massa do bloco: m = 8,0\\ \mathrm{kg}.
  • Comprimento da rampa (deslocamento ao longo da superfície): s = 1,50\\ \mathrm{m}.
  • Parte (a): o bloco é liberado do repouso e atinge velocidade v = 2,50\\ \mathrm{m/s} na base da rampa. Pergunta-se: qual é o ângulo \theta entre a rampa e a horizontal?
  • Parte (b): agora considera-se que, além do peso, há uma força de atrito constante de módulo F_{\mathrm{at}} = 10,0\\ \mathrm{N} paralela à superfície (oposta ao movimento). Pergunta-se: qual seria a velocidade escalar do gelo na base da rampa nesse caso?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Energia potencial gravitacional perto da superfície é dada por \,U = m g h\,, onde:
    • m é a massa,
    • g é a aceleração da gravidade (vou usar g = 9,80\\ \mathrm{m/s^2}),
    • h é a altura vertical.
      Essa fórmula mede a energia que o objeto tem em função da sua altura.
  • Energia cinética é \,K = \tfrac{1}{2} m v^2\,, onde v é a velocidade.
  • Em uma rampa sem atrito, a energia potencial perdida ao descer vira energia cinética: \,m g h = \tfrac{1}{2} m v^2\,. Isso vem da conservação da energia mecânica (peso converte potencial em cinética).
  • Geometria da rampa: a queda de altura h está relacionada ao comprimento da rampa s e ao ângulo \theta por h = s \sin\theta. Isso vem do triângulo retângulo formado pela rampa.
  • Com atrito constante F_{\mathrm{at}} paralelo à rampa, usamos o teorema trabalho-energia: o trabalho total sobre o bloco é igual à variação da energia cinética. O trabalho da gravidade descendente vale W_g = m g h = m g s \sin\theta (positivo, pois puxa para baixo) e o trabalho da força de atrito vale W_{\mathrm{at}} = -F_{\mathrm{at}} s (negativo, pois se opõe ao movimento). Assim: \tfrac{1}{2} m v^2 = m g s \sin\theta - F_{\mathrm{at}} s.Essa equação dá v quando há atrito.

Passo 3

Resolvendo a parte (a) — rampa sem atrito.
  • Usando h = s \sin\theta na conservação de energia:
m g s \sin\theta = \tfrac{1}{2} m v^2.
  • Podemos cancelar m em ambos os lados:
g s \sin\theta = \tfrac{1}{2} v^2.
  • Isolando \sin\theta:
\sin\theta = \dfrac{\tfrac{1}{2} v^2}{g s} = \dfrac{v^2}{2 g s}.

Passo 4

Cálculo numérico para a parte (a).
  • Primeiro calcule v^2:
v^2 = (2,50\\ \mathrm{m/s})^2 = 6,25\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  • Calcule 2 g s:
2 g s = 2 \cdot 9,80\\ \mathrm{m/s^2} \cdot 1,50\\ \mathrm{m} = 29,4\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  • Portanto
\sin\theta = \dfrac{6,25}{29,4} \approx 0,2129.
  • Agora calcule \theta = \arcsin(0,2129). Isso dá
\theta \approx 12,3^\circ.

Passo 5

Interpretação curta e checagem rápida.
  • O ângulo pequeno faz sentido: a velocidade 2,50\\ \mathrm{m/s} numa rampa curta 1,50\\ \mathrm{m} corresponde a uma altura pequena, logo um \theta baixo.
  • Nota prática: também poderíamos ter calculado a altura h = s \sin\theta diretamente da energia: h = \tfrac{v^2}{2g} e depois obtido \sin\theta = h/s; dá a mesma conta.

Passo 6

Resolvendo a parte (b) — com atrito constante F_{\mathrm{at}} = 10,0\\ \mathrm{N}.
  • Use o teorema trabalho-energia:
\tfrac{1}{2} m v_{\text{final}}^2 = m g s \sin\theta - F_{\mathrm{at}} s.
  • Já sabemos de (a) que m g s \sin\theta = \tfrac{1}{2} m v^2 (o valor da energia cinética obtida sem atrito). Calculamos esse valor numérico:
\tfrac{1}{2} m v^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 8,0\\ \mathrm{kg}\cdot 6,25\\ \mathrm{m^2/s^2} = 25,0\\ \mathrm{J}.
Isto é, o trabalho da gravidade ao longo da rampa é +25,0\\ \mathrm{J}.
  • O trabalho negativo da força de atrito é
W_{\mathrm{at}} = -F_{\mathrm{at}} s = -10,0\\ \mathrm{N}\cdot 1,50\\ \mathrm{m} = -15,0\\ \mathrm{J}.
  • Logo a energia cinética final é
\tfrac{1}{2} m v_{\text{final}}^2 = 25,0\\ \mathrm{J} - 15,0\\ \mathrm{J} = 10,0\\ \mathrm{J}.
  • Isolando v_{\text{final}}:
v_{\text{final}}^2 = \dfrac{2\cdot 10,0\\ \mathrm{J}}{8,0\\ \mathrm{kg}} = \dfrac{20,0}{8,0} = 2,50\\ \mathrm{m^2/s^2}.
v_{\text{final}} = \sqrt{2,50\\ \mathrm{m^2/s^2}} \approx 1,58\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Comentário final motivador:
  • Pronto — vimos passo a passo, usando energia (sem atrito) e depois o teorema trabalho-energia (com atrito). Se o atrito fosse maior do que a energia fornecida pela gravidade ( 25,0\\ \mathrm{J}), o bloco não chegaria ao fim da rampa; aqui ainda sobra energia cinética positiva igual a 10,0\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) \theta \approx 12,3^\circ
(b) v \approx 1,58\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados