Um bloco de gelo de
é liberado a partir do repouso no topo de uma rampa sem atrito de comprimento igual a
e desliza para baixo atingindo uma velocidade de
na base da rampa.
(a) Qual é o ângulo entre a rampa e a horizontal?
(b) Qual seria a velocidade escalar do gelo na base, se o movimento sofresse a oposição de uma força de atrito constante de
paralela à superfície da rampa?
(a) Qual é o ângulo entre a rampa e a horizontal?
(b) Qual seria a velocidade escalar do gelo na base, se o movimento sofresse a oposição de uma força de atrito constante de
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (dados pegados do enunciado):
- Massa do bloco:
. - Comprimento da rampa (deslocamento ao longo da superfície):
. - Parte (a): o bloco é liberado do repouso e atinge velocidade
na base da rampa. Pergunta-se: qual é o ângulo entre a rampa e a horizontal? - Parte (b): agora considera-se que, além do peso, há uma força de atrito constante de módulo
paralela à superfície (oposta ao movimento). Pergunta-se: qual seria a velocidade escalar do gelo na base da rampa nesse caso?
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma simples):
- Energia potencial gravitacional perto da superfície é dada por
, onde: -
é a massa, -
é a aceleração da gravidade (vou usar ), -
é a altura vertical.
Essa fórmula mede a energia que o objeto tem em função da sua altura.
-
- Energia cinética é
, onde é a velocidade. - Em uma rampa sem atrito, a energia potencial perdida ao descer vira energia cinética:
. Isso vem da conservação da energia mecânica (peso converte potencial em cinética). - Geometria da rampa: a queda de altura
está relacionada ao comprimento da rampa e ao ângulo por . Isso vem do triângulo retângulo formado pela rampa. - Com atrito constante
paralelo à rampa, usamos o teorema trabalho-energia: o trabalho total sobre o bloco é igual à variação da energia cinética. O trabalho da gravidade descendente vale (positivo, pois puxa para baixo) e o trabalho da força de atrito vale (negativo, pois se opõe ao movimento). Assim: Essa equação dá quando há atrito.
Passo 3
Resolvendo a parte (a) — rampa sem atrito.
- Usando
na conservação de energia:
- Podemos cancelar
em ambos os lados:
- Isolando
:
Passo 4
Cálculo numérico para a parte (a).
- Primeiro calcule
:
- Calcule
:
- Portanto
- Agora calcule
. Isso dá
Passo 5
Interpretação curta e checagem rápida.
- O ângulo pequeno faz sentido: a velocidade
numa rampa curta corresponde a uma altura pequena, logo um baixo. - Nota prática: também poderíamos ter calculado a altura
diretamente da energia: e depois obtido ; dá a mesma conta.
Passo 6
Resolvendo a parte (b) — com atrito constante
.
- Use o teorema trabalho-energia:
- Já sabemos de (a) que
(o valor da energia cinética obtida sem atrito). Calculamos esse valor numérico:
Isto é, o trabalho da gravidade ao longo da rampa é
.
- O trabalho negativo da força de atrito é
- Logo a energia cinética final é
- Isolando
:
Passo 7
Comentário final motivador:
- Pronto — vimos passo a passo, usando energia (sem atrito) e depois o teorema trabalho-energia (com atrito). Se o atrito fosse maior do que a energia fornecida pela gravidade (
), o bloco não chegaria ao fim da rampa; aqui ainda sobra energia cinética positiva igual a .
Resposta
(a)
(b)
(b)