O ouro, que tem uma massa específica de 19,32 \mathrm{~g} / \\,\mathrm{cm}^{3}, é um metal extremamente dúctil e maleável, isto é, pode ser transformado em fios ou folhas muito finas.
Se uma amostra de ouro, com uma massa de 27,63 \mathrm{~g}, prensada até se tornar uma folha com 1,0 \mu \mathrm{~m} de espessura, qual é a área dessa folha?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede a área da folha de ouro:
  • Massa da amostra: m = 27,63\\ \mathrm{g}.
  • Massa específica (densidade) do ouro: \rho = 19,32\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Espessura da folha: t = 1,0\\ \mu\mathrm{m}.
    O que se pede: calcular a área A da folha depois de prensá-la até a espessura dada.

Passo 2

Explicando as ideias básicas (passo a passo bem mastigado):
  • A densidade \rho é definida por \rho = \dfrac{m}{V}, onde:
    • \rho é a densidade (aqui em \mathrm{g/cm^{3}}),
    • m é a massa (aqui em \mathrm{g}),
    • V é o volume (aqui em \mathrm{cm^{3}}).
      Assim, o volume ocupado pela amostra vale
    V = \frac{m}{\rho}.
  • Se a amostra for esticada até formar uma folha de espessura t e área A, o volume também é dado por V = A\cdot t.Portanto, isolando A, A = \frac{V}{t} = \frac{m}{\rho\,t}.
  • Atenção às unidades: como \rho está em \mathrm{g/cm^{3}} e m em \mathrm{g}, é conveniente usar t em \mathrm{cm} para obter V em \mathrm{cm^{3}} e A em \mathrm{cm^{2}}.
  • Converter a espessura: 1,0\\ \mu\mathrm{m} = 1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}. Como 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}, temos 1,0\\ \mu\mathrm{m} = 1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m} = 1,0\times10^{-6}\times100\\ \mathrm{cm} = 1,0\times10^{-4}\\ \mathrm{cm}.Logo t = 1,0\times10^{-4}\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Calcular o volume V usando V = \dfrac{m}{\rho}:
V = \frac{27,63\\ \mathrm{g}}{19,32\\ \mathrm{g/cm^{3}}}.
Fazendo a divisão:
V \approx 1,430124\\ \mathrm{cm^{3}}.
(Explicação rápida: dividir 27,63 por 19,32 dá aproximadamente 1,430124; mantivemos várias casas para reduzir erro numa etapa intermediária.)

Passo 4

Calcular a área A pela relação A = \dfrac{V}{t}. Substituindo V e t:
A = \frac{1,430124\\ \mathrm{cm^{3}}}{1,0\times10^{-4}\\ \mathrm{cm}} = 1,430124\times10^{4}\\ \mathrm{cm^{2}}.
Ou seja,
A \approx 14301,24\\ \mathrm{cm^{2}}.

Passo 5

Converter a área para unidades do Sistema Internacional ( \mathrm{m^{2}}). Como 1\\ \mathrm{cm^{2}} = 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},
A = 14301,24\\ \mathrm{cm^{2}}\times 10^{-4}\\ \mathrm{\frac{m^{2}}{cm^{2}}} \approx 1,430124\\ \mathrm{m^{2}}.
Comentário prático: portanto, essa pequena massa de ouro vira uma folha relativamente grande — mais de um metro quadrado — quando a espessura é só 1\\ \mu\mathrm{m}. Força do cálculo de volume/densidade!

Passo 6

Arredondamento e observação de algarismos significativos: os dados originais indicam cerca de 2–3 algarismos confiáveis (especialmente t=1,0\\ \mu\mathrm{m} tem 2 algarismos significativos), então uma resposta prática seria A \approx 1,4\\ \mathrm{m^{2}}. Mas deixei o valor mais preciso nos passos anteriores caso prefira.

Resposta

A \approx 1,430124\times10^{4}\\ \mathrm{cm^{2}} = 1,430124\\ \mathrm{m^{2}}

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