Um disco de hóquei com massa de 0,160 \mathrm{~kg} está em repouso na origem ( \mathrm{x}=0 ) em uma superfície horizontal sem atrito da pista. No instante t=0, um jogador aplica sobre o disco uma força de 0,250 \mathrm{n} paralela ao eixo x; ele continua a aplicar a força até t=2,00 \mathrm{~s}.
(a) qual é a posição e a velocidade do disco no instante \mathrm{t}=2,00 \mathrm{~s} ?
(b) se a mesma força for aplicada novamente no instante \mathrm{t}=5,00 \mathrm{~s}, qual será a posição e a velocidade do disco no instante \mathrm{t}=7,00 \mathrm{~s} ?

Passo 1

Dados fornecidos:
  • Massa do disco: m=0,160\\ \mathrm{kg}.
  • Força aplicada paralela ao eixo x: F=0,250\\ \mathrm{N}.
  • O disco está inicialmente em repouso na origem: x(0)=0 e v(0)=0.
  • A força é aplicada de t=0 até t=2,00\\ \mathrm{s}.
  • Depois, não há atrito (superfície sem atrito) e não há outras forças horizontais até t=5,00\\ \mathrm{s}.
  • A mesma força é aplicada novamente de t=5,00\\ \mathrm{s} até t=7,00\\ \mathrm{s}.
Perguntas do enunciado:
(a) Qual é a posição x e a velocidade v do disco no instante t=2,00\\ \mathrm{s}?
(b) Se a mesma força for aplicada novamente no instante t=5,00\\ \mathrm{s}, qual será a posição x e a velocidade v do disco no instante t=7,00\\ \mathrm{s}?

Passo 2

Entendendo a física básica que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Segunda lei de Newton (uma fórmula simples e poderosa): a resultante das forças numa direção produz uma aceleração nessa direção. Para uma única força horizontal constante vale
F = m\,a,
onde F é a força resultante (em \mathrm{N}), m é a massa (em \mathrm{kg}) e a é a aceleração (em \mathrm{m/s^{2}}).
  • Como a superfície é sem atrito e a força é constante enquanto aplicada, a aceleração será constante nesse intervalo. Para movimento com aceleração constante usamos as equações do movimento retilíneo uniformemente acelerado:
v(t) = v_0 + a\,t,
x(t) = x_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}a\,t^{2},
onde v_0 e x_0 são velocidade e posição no instante inicial considerado.
Agora calculo a aceleração gerada pela força aplicada em t=0.

Passo 3

Calcular a aceleração durante os intervalos em que a força atua:
a=\frac{F}{m}.
Substituindo os valores (coloquei os números exatamente como dados):
a=\frac{0,250}{0,160}=1,5625\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Ou seja, sempre que a força estiver sendo aplicada o disco tem aceleração constante a=1,5625\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Resolver a parte (a): movimento de t=0 até t=2,00\\ \mathrm{s} com aceleração a.
  • Velocidade em t=2{,}00\\ \mathrm{s}:
v(2{,}00)=v(0)+a\cdot 2{,}00 = 0 + 1,5625\cdot 2{,}00 = 3,125\\ \mathrm{m/s}.
Expliquei: usei v=v_0+at com v_0=0, a=1,5625 e t=2{,}00.
  • Posição em t=2{,}00\\ \mathrm{s}:
x(2{,}00)=x(0)+v(0)\cdot 2{,}00 + \tfrac{1}{2}a\cdot (2{,}00)^{2} = 0 + 0 + \tfrac{1}{2}\cdot 1,5625\cdot 4 = 3,125\\ \mathrm{m}.
Observação simpática: aqui deu coincidência numérica x(2{,}00)=v(2{,}00)=3,125, mas são grandezas diferentes (posição em metros e velocidade em \mathrm{m/s}).

Passo 5

Movimento entre t=2{,}00\\ \mathrm{s} e t=5{,}00\\ \mathrm{s}: a força deixa de ser aplicada, e como não há atrito nem outras forças horizontais a resultante é zero. Então a aceleração horizontal é a=0 neste intervalo e o movimento é retilíneo uniforme com velocidade constante igual à velocidade em t=2{,}00.
  • Tempo deste intervalo: \Delta t = 5{,}00-2{,}00=3{,}00\\ \mathrm{s}.
  • Velocidade em t=5{,}00\\ \mathrm{s}:
v(5{,}00)=v(2{,}00)=3,125\\ \mathrm{m/s}.
  • Deslocamento nesse intervalo:
\Delta x = v\cdot \Delta t = 3,125\cdot 3{,}00 = 9,375\\ \mathrm{m}.
  • Posição em t=5{,}00\\ \mathrm{s}:
x(5{,}00)=x(2{,}00)+\Delta x = 3,125 + 9,375 = 12,500\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Agora a parte (b): a mesma força volta a ser aplicada em t=5{,}00\\ \mathrm{s} e permanece até t=7{,}00\\ \mathrm{s}. Enquanto a força estiver aplicada, a aceleração volta a ser a=1,5625\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Considero o intervalo de t=5{,}00 (início deste trecho) como novo início com condições iniciais:
x_0 = x(5{,}00)=12,500\\ \mathrm{m},\qquad v_0 = v(5{,}00)=3,125\\ \mathrm{m/s}.
  • Duração do segundo empurrão: \Delta t = 7{,}00-5{,}00=2{,}00\\ \mathrm{s}.
  • Velocidade em t=7{,}00\\ \mathrm{s}:
v(7{,}00)=v_0 + a\cdot \Delta t = 3,125 + 1,5625\cdot 2{,}00 = 3,125 + 3,125 = 6,250\\ \mathrm{m/s}.
  • Deslocamento durante esse segundo empurrão:
\Delta x = v_0\cdot \Delta t + \tfrac{1}{2}a\cdot (\Delta t)^{2} = 3,125\cdot 2{,}00 + \tfrac{1}{2}\cdot 1,5625\cdot 4 = 6,250 + 3,125 = 9,375\\ \mathrm{m}.
  • Posição em t=7{,}00\\ \mathrm{s}:
x(7{,}00)=x_0 + \Delta x = 12,500 + 9,375 = 21,875\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) x(2{,}00)=3,125\\ \mathrm{m}, v(2{,}00)=3,125\\ \mathrm{m/s}
(b) x(7{,}00)=21,875\\ \mathrm{m}, v(7{,}00)=6,250\\ \mathrm{m/s}

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