A posição de um helicóptero de treinamento (peso de 2,75 \times 10^{5} \mathrm{~N} ) em um teste é dada por \mathrm{r}= \left(0,020 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) \mathrm{t}^{3} \hat{\mathrm{i}}+(2,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \mathrm{tj}-\left(0,060 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \mathrm{t}^{2} \mathrm{k}. Ache a força resultante sobre o helicóptero no instante \mathrm{t}=5,0 \mathrm{~s}.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
  • A posição do helicóptero é
\mathbf{r}(t)=\left(0{,}020\\ \mathrm{m/s^{3}}\right)t^{3}\,\hat{\mathbf{i}} +\left(2{,}2\\ \mathrm{m/s}\right)t\,\hat{\mathbf{j}} -\left(0{,}060\\ \mathrm{m/s^{2}}\right)t^{2}\,\hat{\mathbf{k}}.
  • O peso (força-peso) do helicóptero é \;W=2{,}75\times10^{5}\\ \mathrm{N}.
  • Quer-se a força resultante sobre o helicóptero no instante t=5{,}0\\ \mathrm{s}.
Observação importante (para usar na solução): o peso serve para obter a massa pela relação \;W=mg. Adotarei g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão perto da superfície da Terra).

Passo 2

Calcular a massa do helicóptero a partir do peso.
  • A relação entre peso e massa é \;W=mg, portanto
m=\frac{W}{g}.
  • Substituindo os valores:
m=\frac{2{,}75\times10^{5}}{9{,}8}.
  • Fazendo a divisão (aproximação numérica):
m\approx2{,}80612245\times10^{4}\\ \mathrm{kg}.
  • Para manter dados com número razoável de algarismos significativos, usarei
m\approx2{,}81\times10^{4}\\ \mathrm{kg}.
Comentário rápido e empático: isso é só para conseguir a massa; não é complicado — só dividir o peso por g.

Passo 3

Encontrar a velocidade \mathbf{v}(t) derivando a posição componente a componente.
Regra usada: a derivada de t^{n} é n t^{n-1}. Deriva-se cada componente escalar separadamente.
  • Componente x:
x(t)=0{,}020\,t^{3}\quad\Rightarrow\quad v_{x}(t)=\frac{d}{dt}(0{,}020\,t^{3})=3\cdot0{,}020\,t^{2}=0{,}060\,t^{2}.
  • Componente y:
y(t)=2{,}2\,t\quad\Rightarrow\quad v_{y}(t)=\frac{d}{dt}(2{,}2\,t)=2{,}2.
  • Componente z:
z(t)=-0{,}060\,t^{2}\quad\Rightarrow\quad v_{z}(t)=\frac{d}{dt}(-0{,}060\,t^{2})=-2\cdot0{,}060\,t=-0{,}12\,t.
Logo a velocidade é
\mathbf{v}(t)=\left(0{,}060\,t^{2}\right)\hat{\mathbf{i}}+(2{,}2)\hat{\mathbf{j}}+\left(-0{,}12\,t\right)\hat{\mathbf{k}}\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 4

Encontrar a aceleração \mathbf{a}(t) derivando a velocidade componente a componente.
  • Componente x:
a_{x}(t)=\frac{d}{dt}(0{,}060\,t^{2})=2\cdot0{,}060\,t=0{,}120\,t.
  • Componente y:
a_{y}(t)=\frac{d}{dt}(2{,}2)=0.
  • Componente z:
a_{z}(t)=\frac{d}{dt}(-0{,}12\,t)=-0{,}12.
Portanto
\mathbf{a}(t)=\left(0{,}120\,t\right)\hat{\mathbf{i}}+0\\ \hat{\mathbf{j}}+\left(-0{,}12\right)\hat{\mathbf{k}}\quad(\mathrm{m/s^{2}}).
Breve explicação didática: a aceleração é a taxa de variação da velocidade — aqui tivemos termos polinomiais fáceis de derivar. Note que a componente y da aceleração é zero porque a velocidade em y é constante.

Passo 5

Avaliar a aceleração em t=5{,}0\\ \mathrm{s}.
  • Substituindo t=5{,}0:
a_{x}(5{,}0)=0{,}120\times5{,}0=0{,}600\\ \mathrm{m/s^{2}}, \qquad a_{y}(5{,}0)=0, \qquad a_{z}(5{,}0)=-0{,}12\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Logo
\mathbf{a}(5{,}0)=\left(0{,}600\right)\hat{\mathbf{i}}+0\\ \hat{\mathbf{j}}+\left(-0{,}12\right)\hat{\mathbf{k}}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Aplicar a segunda lei de Newton para obter a força resultante: \displaystyle \sum\mathbf{F}=m\mathbf{a}.
  • Usando m\approx2{,}81\times10^{4}\\ \mathrm{kg} e \mathbf{a}(5{,}0) do passo anterior, a força resultante é
\mathbf{F}_{\text{res}}=m\,\mathbf{a}(5{,}0).
  • Multiplicando componente a componente:
F_{x}=m a_{x}=2{,}81\times10^{4}\times0{,}600\approx1{,}69\times10^{4}\\ \mathrm{N},
F_{y}=m a_{y}=2{,}81\times10^{4}\times0=0\\ \mathrm{N},
F_{z}=m a_{z}=2{,}81\times10^{4}\times(-0{,}12)\approx-3{,}37\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
Observação sobre arredondamento: os valores foram arredondados a três algarismos significativos para apresentação clara. A unidade final é newtons.

Resposta

\mathbf{F}_{\text{res}}\approx\left(1{,}69\times10^{4}\right)\hat{\mathbf{i}}+0\,\hat{\mathbf{j}}+\left(-3{,}37\times10^{3}\right)\hat{\mathbf{k}}\\ \mathrm{N}

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