Um bloco inicialmente em repouso, de massa m, encontra-se sobre uma superficie horizontal. Aplica-se sobre ele uma força de módulo 0,600 \mathrm{mg}, formando um ângulo \theta=25^{\circ} acima da horizontal. Determine o módulo da aceleração do bloco no caso: (a) \mu_{\tau}=0,50 e \mu_{d}=0,40

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o módulo da aceleração de um bloco de massa m sobre uma superfície horizontal quando sobre ele é aplicada uma força de módulo 0,600\,mg formando um ângulo \theta=25^\circ acima da horizontal. O bloco está inicialmente em repouso. Os coeficientes de atrito fornecidos para o item (a) são \mu_{\tau}=0,50 (coeficiente de atrito estático) e \mu_{d}=0,40 (coeficiente de atrito cinético).\n
Informações dadas (resumindo):\n
  • massa: m (não numérica; será cancelada)\n
  • aceleração da gravidade: g (usarei g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} para valor numérico final)\n
  • força aplicada: F=0,600\,mg\n
  • ângulo: \theta=25^\circ\n
  • coeficiente de atrito estático: \mu_{\tau}=0,50\n
  • coeficiente de atrito cinético: \mu_{d}=0,40\n
    Pergunta explícita: calcular o módulo da aceleração do bloco no caso (a) com os coeficientes acima.

Passo 2

Entendimento físico e plano de solução (passo-a-passo didático).\n
  • Primeiro precisamos ver se a força horizontal aplicada é suficiente para vencer o atrito estático máximo; se não for, o bloco não se move e a aceleração é zero.\n
  • Para isso decomponho a força aplicada em componentes horizontal e vertical: a componente horizontal tenta deslizar o bloco; a componente vertical altera a força normal (porque puxa o bloco para cima), e a normal altera a força de atrito.\n
    Fórmulas básicas que vamos usar (explicando cada uma):\n
  • Decomposição da força:\n
F_x = F\cos\theta,\qquad F_y = F\sin\theta
onde F_x é a componente horizontal (responsável por vencer o atrito) e F_y é a componente vertical (para cima).\n
  • Equilíbrio vertical (para encontrar a normal): a normal N age para cima e o peso mg age para baixo; a componente F_y atua para cima, portanto a normal fica:\n
N = mg - F_y
porque F_y alivia parte do peso.\n
  • Atrito estático máximo:\n
f_{s,\max} = \mu_{\tau} N
Regra: o bloco ficará em repouso se F_x \le f_{s,\max}.\n
  • Se o bloco se mover, o atrito que age é o atrito cinético:\n
f_k = \mu_{d} N
  • Em movimento, a força resultante na horizontal é F_x - f_k (assumindo que a força horizontal puxa no sentido positivo) e a aceleração é\n
a = \frac{F_x - f_k}{m}.
Observação: muitas quantidades têm fator mg; esse fator simplifica bastante pois m cancela quando dividimos por m para obter a.

Passo 3

Calcular as componentes da força aplicada. Vou conservar o fator mg até comparar com atrito para simplificar.\n
  • F = 0,600\,mg\n
  • Calculo de F_x e F_y:\n
F_x = F\cos\theta = 0,600\,mg\cos(25^\circ),\n
F_y = F\sin\theta = 0,600\,mg\sin(25^\circ).\n
Agora valores numéricos aproximados das funções trigonométricas: \cos(25^\circ)\approx 0,9063 e \sin(25^\circ)\approx 0,4226.\n
Substituindo:\n
F_x \approx 0,600\times 0,9063\;mg \approx 0,54378\;mg,\n
F_y \approx 0,600\times 0,4226\;mg \approx 0,25356\;mg.

Passo 4

Calcular a normal N usando N=mg-F_y:\n
N = mg - F_y = mg - 0,25356\;mg = (1 - 0,25356)\,mg = 0,74644\;mg.
Agora o atrito estático máximo:\n
f_{s,\max} = \mu_{\tau} N = 0,50\times 0,74644\;mg = 0,37322\;mg.
Comparação entre força horizontal e atrito estático máximo:\n
F_x \approx 0,54378\;mg,\qquad f_{s,\max}\approx 0,37322\;mg.
Como F_x > f_{s,\max}, a força horizontal é suficiente para vencer o atrito estático: o bloco começa a se mover. (Boa notícia: agora usamos atrito cinético para achar a aceleração.)

Passo 5

Calcular o atrito cinético que age durante o movimento:\n
f_k = \mu_{d} N = 0,40 \times 0,74644\;mg = 0,29858\;mg.

Passo 6

Calcular a força resultante horizontal e a aceleração.\n
Força resultante na horizontal:\n
F_{\text{res},x} = F_x - f_k \approx 0,54378\;mg - 0,29858\;mg = 0,24520\;mg.
Dividindo por m para obter a aceleração:\n
a = \frac{F_{\text{res},x}}{m} = 0,24520\;g.
Agora substituo g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} para valor numérico:\n
a \approx 0,24520\times 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} \approx 2,40\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Interpretação final e incentivo.\n
  • Concluímos que a força aplicada (mesmo inclinada para cima) tem componente horizontal suficiente para vencer o atrito estático, portanto o bloco desliza.\n
  • Durante o deslizamento, o atrito que age é o cinético (menor que o estático), e a aceleração resultante é aproximadamente 2,40\\ \mathrm{m/s^{2}}.\n
    Mandar bem! Se queria checar com outro valor de g (por exemplo 9,81), o resultado muda muito pouco; a ideia e os passos são os mesmos: decompor força, ajustar a normal, comparar com atrito estático e, se mover, usar atrito cinético para achar a.

Resposta

(a) a=2,40\\ \mathrm{m/s^{2}}

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