Um garoto de 50 kg puxa uma caixa de 10 kg utilizando uma corda ideal (de massa desprezivel e inextensivel) que os separa por uma distância de 12 m . O garoto e a caixa se encontram em uma superficie perfeitamente lisa, e ao puxar a caixa o garoto exerce uma força de \underline{6 \mathrm{~N}} sobre a corda. Determine (a) a aceleração da caixa; (b) a aceleração do garoto; (c) após quanto tempo a caixa e o garoto se encontram e (d) a que distância da posição inicial do garoto acontece o encontro.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Dados do problema:
  • Massa do garoto: \,m_g=50\\ \mathrm{kg}.
  • Massa da caixa: \,m_c=10\\ \mathrm{kg}.
  • Distância inicial entre os centros: \,d_0=12\\ \mathrm{m}.
  • Superfície perfeitamente lisa (ou seja, sem atrito).
  • A corda é ideal (massa desprezível e inextensível).
  • O garoto exerce uma força de \,6\\ \mathrm{N} sobre a corda. (Como a corda é ideal, a tensão na corda vale \,T=6\\ \mathrm{N}.)
  • Pressuposição padrão para esse tipo de problema: ambos partem do repouso no instante inicial.
Perguntas:
(a) Qual a aceleração da caixa?
(b) Qual a aceleração do garoto?
(c) Após quanto tempo a caixa e o garoto se encontram?
(d) A que distância da posição inicial do garoto ocorre o encontro?

Passo 2

Entendendo as forças na caixa e aplicação da segunda lei de Newton.
Conceito rápido e importante: a segunda lei de Newton diz que a soma das forças resultantes sobre um corpo é igual à massa do corpo vezes sua aceleração. Em fórmula:
\sum F = m a,
onde \sum F é a força resultante, m é a massa e a é a aceleração (no mesmo eixo que as forças).
Para a caixa: a única força horizontal que age é a tensão da corda puxando a caixa em direção ao garoto. Como a corda é ideal, a tensão é \,T=6\\ \mathrm{N}. Assim a força resultante na caixa é \sum F = T = 6\\ \mathrm{N}. Aplicando a segunda lei:
T = m_c a_c.
Isolando a aceleração da caixa:
a_c = \frac{T}{m_c}.

Passo 3

Cálculo numérico da aceleração da caixa com explicação das contas.
Substituindo os valores:
a_c = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\\ \mathrm{m/s^2}.
Convertendo para decimal:
a_c = 0{,}6\\ \mathrm{m/s^2}.
Comentário didático: o raciocínio foi simples — a caixa recebe uma força constante de 6\\ \mathrm{N} e, por ser de massa 10\\ \mathrm{kg}, sua aceleração é força dividida por massa. A unidade \mathrm{N/kg} é equivalente a \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Forças no garoto e cálculo da aceleração do garoto.
Pelo princípio da ação e reação (terceira lei de Newton), a corda puxa o garoto com a mesma intensidade da força que ele aplica na corda, ou seja, a corda exerce sobre o garoto uma força de magnitude T=6\\ \mathrm{N} apontando na direção oposta à que ele puxou. Como não há atrito e nenhuma outra força horizontal, a força resultante horizontal sobre o garoto é \sum F = 6\\ \mathrm{N} (direção: em direção à caixa).
Aplicando a segunda lei para o garoto:
T = m_g a_g,
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a_g = \frac{T}{m_g}.
Substituindo numericamente:
a_g = \frac{6}{50} = \frac{3}{25}\\ \mathrm{m/s^2}.
Em decimal:
a_g = 0{,}12\\ \mathrm{m/s^2}.
Comentário didático: ambos aceleram um contra o outro pois a única força horizontal é a tensão. Como o garoto é muito mais pesado, sua aceleração é menor.

Passo 5

Como achar o tempo até o encontro: conceito de movimento relativo e equação do movimento com aceleração constante.
Uma maneira prática: considerar o movimento relativo entre eles. Se as duas partículas se aproximam, a aceleração relativa que reduz a separação é a soma das acelerações em módulo na direção uma da outra:
a_{\text{rel}} = a_c + a_g.
Substituindo frações exatas encontradas:
a_c = \frac{3}{5},\qquad a_g = \frac{3}{25}.
Somando:
a_{\text{rel}} = \frac{3}{5} + \frac{3}{25} = \frac{15}{25} + \frac{3}{25} = \frac{18}{25}\\ \mathrm{m/s^2}.
Em decimal: a_{\text{rel}} = 0{,}72\\ \mathrm{m/s^2}.
Agora usamos a equação do deslocamento com aceleração constante para a distância relativa \,d_0, sabendo que a velocidade relativa inicial é zero (partem do repouso):
d_0 = \tfrac{1}{2} a_{\text{rel}} t^2.
Isolando o tempo:
t = \sqrt{\frac{2 d_0}{a_{\text{rel}}}}.

Passo 6

Cálculo exato e numérico do tempo.
Usando os valores exatos para evitar aproximações prematuras:
a_{\text{rel}}=\frac{18}{25},\qquad d_0=12.
Calculamos
t^2=\frac{2d_0}{a_{\text{rel}}}=\frac{24}{18/25}=24\cdot\frac{25}{18}=\frac{24\cdot25}{18}=\frac{100}{3}.
Portanto
t=\sqrt{\frac{100}{3}}=\frac{10}{\sqrt{3}}.
Em valor aproximado:
t\approx \frac{10}{1{,}73205}\approx 5{,}7735\\ \mathrm{s}.
Comentário encorajador: deu uma expressão bonita exata \,t=\dfrac{10}{\sqrt{3}} e um valor numérico prático \approx 5{,}77\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Distâncias percorridas por cada um até o encontro (para responder a parte (d)).
Usamos a equação do movimento retilíneo uniformemente acelerado para cada um, partindo do repouso:
s = \tfrac{1}{2} a t^2.
Para a caixa:
s_c = \tfrac{1}{2} a_c t^2.
Usando formas fracionárias:
a_c=\frac{3}{5},\quad t^2=\frac{100}{3},
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s_c=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{100}{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{100}{5}= \frac{100}{10}=10\\ \mathrm{m}.
Para o garoto:
s_g = \tfrac{1}{2} a_g t^2.
Com a_g=\dfrac{3}{25} e t^2=\dfrac{100}{3}, obtemos
s_g=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{3}{25}\cdot\frac{100}{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{100}{25}=\frac{1}{2}\cdot4=2\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida: s_c+s_g=10+2=12\\ \mathrm{m}, que é a separação inicial, portanto as contas estão consistentes.
Interpretação: o encontro ocorre a 2\\ \mathrm{m} da posição inicial do garoto (ele avançou 2\\ \mathrm{m} até o ponto de encontro) e a 10\\ \mathrm{m} da posição inicial da caixa.

Resposta

(a) a_{\text{caixa}}=0{,}6\\ \mathrm{m/s^2}.
(b) a_{\text{garoto}}=0{,}12\\ \mathrm{m/s^2}.
(c) t=\dfrac{10}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{s}\approx 5{,}77\\ \mathrm{s}.
(d) Distância a partir da posição inicial do garoto: 2\\ \mathrm{m}.

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