Um automóvel move-se em linha reta ao longo do eixo x. Ele parte do repouso na posição x=0 e percorre um total de 800 m , parando novamente em x=800 \mathrm{~m}. Durante o primeiro quarto do percurso ( 0 \leq \mathrm{x} \leq 200 \mathrm{~m} ), o automóvel tem aceleração constante de +3.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Nos três quartos restantes do percurso (200 \leq \mathrm{x} \leq 800 \mathrm{~m}), a aceleração passa a ser constante e igual a -1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine (a) o tempo total de movimento até o automóvel percorrer os 800 \mathrm{~m} e (b) a velocidade máxima atingida pelo automóvel.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) o tempo total de movimento até o automóvel percorrer os 800\\ \mathrm{m} e (b) a velocidade máxima atingida pelo automóvel. As informações relevantes são:
\begin{aligned} &\text{Posição inicial: } x_0=0\\ \mathrm{m},\quad \text{o carro parte do repouso: } v_0=0\\ \mathrm{m/s}.\\\ &\text{Posição final: } x_f=800\\ \mathrm{m},\quad \text{o carro para em } x_f\\ (\text{velocidade final } v_f=0).\\\ &\text{Primeiro trecho: } 0\le x\le 200\\ \mathrm{m},\quad a_1=+3{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.\\\ &\text{Segundo trecho: } 200\le x\le 800\\ \mathrm{m},\quad a_2=-1{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.\\\ &\text{Comprimentos: } \Delta x_1=200\\ \mathrm{m},\quad \Delta x_2=600\\ \mathrm{m}. \end{aligned}çãçã

Passo 2

Vamos primeiro achar a velocidade no fim do primeiro trecho ( x=200\\ \mathrm{m}). Para movimento com aceleração constante existe a relação
v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x,
que vem de integrar a=\dfrac{dv}{dt} usando dx=v\,dt. Aplicando ao primeiro trecho com v_0=0, a=a_1 e \Delta x=\Delta x_1,
v_1^2 = 0 + 2a_1\Delta x_1 = 2\cdot 3{,}0\cdot 200.
Calcule:
v_1^2 = 1200 \quad\Rightarrow\quad v_1=\sqrt{1200} = 20\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 34{,}64\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Verificamos se com essa velocidade o carro realmente para em x=800\\ \mathrm{m} sob aceleração a_2. Usamos a mesma fórmula no segundo trecho:
v_f^2 = v_1^2 + 2a_2\Delta x_2.
Substituindo v_1^2=1200, a_2=-1{,}0, \Delta x_2=600,
v_f^2 = 1200 + 2(-1{,}0)(600) = 1200 - 1200 = 0,
logo v_f=0, exatamente como dito no enunciado. Isso confirma que a velocidade máxima ocorre no fim do primeiro trecho ( x=200\\ \mathrm{m}), porque depois a aceleração é negativa e a velocidade diminui até zero.

Passo 4

Agora calculamos o tempo gasto no primeiro trecho. Para aceleração constante vale
v = v_0 + a t.
No primeiro trecho v_0=0, v=v_1 e a=a_1, então
t_1 = \frac{v_1}{a_1} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\\ \mathrm{s}.
Valor numérico:
t_1 \approx \frac{34{,}641}{3} \approx 11{,}547\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Tempo no segundo trecho: aqui v decresce de v_1 até v_f=0 com a=a_2=-1{,}0. Pela mesma relação v=v_1 + a_2 t_2, temos
0 = v_1 + a_2 t_2 \quad\Rightarrow\quad t_2 = -\frac{v_1}{a_2}.
Como a_2=-1{,}0, isso dá
t_2 = \frac{v_1}{1{,}0} = v_1 = 20\sqrt{3}\\ \mathrm{s}\approx 34{,}641\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Somando os tempos dos dois trechos obtemos o tempo total:
t_{\text{total}} = t_1 + t_2 = \frac{20\sqrt{3}}{3} + 20\sqrt{3} = \frac{80\sqrt{3}}{3}\\ \mathrm{s}.
Valor numérico:
t_{\text{total}}\approx 11{,}547 + 34{,}641 = 46{,}188\\ \mathrm{s}\approx 46{,}19\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Velocidade máxima: como a aceleração no primeiro trecho é positiva, a velocidade cresce até o fim desse trecho; depois a aceleração é negativa e a velocidade decresce até zero. Portanto a velocidade máxima é v_1 encontrada no Passo 2:
v_{\max}=20\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 34{,}64\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) t_{\text{total}}=\dfrac{80\sqrt{3}}{3}\\ \mathrm{s}\approx 46{,}19\\ \mathrm{s}.
(b) v_{\max}=20\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 34{,}64\\ \mathrm{m/s}.

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