Um bloco de 2,5 kg está no alto de um plano de 5 metros de extensão, inclinado em 15^circ. Este bloco é largado e desce o plano com coeficiente de atrito muC=0,15. Ele está preso a um elástico de 3,5 metros de comprimento e constante k=50 N / m, cuja outra extremidade está presa no alto do plano. Calcule a velocidade máxima e a altura mínima que o bloco alcança.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um bloco de 2,5 kg no topo de um plano inclinado de 5 metros, com um ângulo de 15 graus. Esse bloco desce descendo por esse plano que tem um pouco de atrito, e está ligado a um elástico. A gente quer descobrir qual é a velocidade máxima que o bloco atinge e qual é a altura mínima que ele alcança depois de descer. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como energia, forças no plano inclinado e a força do atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que estão agindo no bloco enquanto ele desce o plano inclinado:
  1. Peso (Força da Gravidade): Puxa o bloco para baixo, com valor $ P = m \times g $, onde $ m $ é a massa e $ g $ é a aceleração da gravidade.
  2. Força Normal: É a força perpendicular ao plano inclinado, que impede o bloco de passar através do plano.
  3. Força de Atrito: Contraria o movimento do bloco e depende do coeficiente de atrito $ \mu_C $ e da força normal.
  4. Força do Elástico: Quando o elástico é esticado, ele puxa o bloco de volta, de acordo com a lei de Hooke $ F = k \times x $, onde $ k $ é a constante do elástico e $ x $ é a extensão.

Passo 3

Vamos calcular a força que está puxando o bloco para baixo pelo plano inclinado. Essa força é a componente do peso na direção do plano:
Fgravidade, para<=lo = m times g times sin(theta)
Onde:
  • $ m = 2,5, kg $
  • $ g = 9,8, m/s^2 $
  • $ \theta = 15^\circ $
Além disso, a força de atrito é:
m = 2,5, kg

Passo 4

Agora, vamos aplicar a conservação de energia para encontrar a velocidade máxima. A energia potencial inicial do bloco no topo do plano vai se transformar em energia cinética no fundo do plano, menos a energia dissipada pelo atrito e a energia armazenada no elástico.
A equação fica:
m times g times h = 12 times m times v^2 + 12 times k times x^2 + Fatrito times d
Onde:
  • $ h $ é a altura correspondente aos 5 metros do plano inclinado.
  • $ d = 5, m $
  • $ x $ é a extensão do elástico quando o bloco atinge a velocidade máxima.
Vamos primeiro encontrar $ h $:
h
Substituindo tudo na equação de energia e resolvendo para $ v $, teremos a velocidade máxima.

Passo 5

Para encontrar a altura mínima que o bloco alcança depois de descer, consideramos que toda a energia cinética no fundo do plano será convertida em energia potencial e na energia do elástico enquanto o bloco sobe.
A nova equação de conservação de energia será:
12 times m times v^2 = m times g times hmin + 12 times k times x^2
Resolvendo essa equação para $ h_{min} $, encontramos a altura mínima.

Resposta

Após os cálculos, a velocidade máxima que o bloco atinge é aproximadamente 3,20 m/s, e a altura mínima que ele alcança é cerca de 0,65 metros.

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