Um bloco de 5 kg desce do alto de uma rampa em forma de gaussiana, cujo perfil de altura é h(x)=5 cdot exp (-x^2 / 4), válido para 0 <= x(m) <= 3,5. Calcule a velocidade do bloco quando ele chegar no final da rampa.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos um bloco de 5 kg descendo por uma rampa que tem o formato de uma gaussiana. A altura da rampa em qualquer posição $ x $ é dada por:
x
Essa rampa vai de $ x = 0 $ até $ x = 3,5 $ metros. Nosso objetivo é calcular a velocidade do bloco quando ele chega ao final da rampa.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial e energia cinética, além da conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia potencial inicial do bloco no topo da rampa. A energia potencial gravitacional é dada por:
Ep = m cdot g cdot h
Onde:
  • $ m = 5 , kg $ é a massa do bloco.
  • $ g = 9,8 , m/s^{2} $ é a aceleração devido à gravidade.
  • $ h $ é a altura inicial.
No topo da rampa ($ x = 0 $):
m = 5 , kg
Então, a energia potencial inicial é:
g = 9,8 , m/s^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia potencial final quando o bloco chega ao final da rampa ($ x = 3,5 $ m):
x = 3,5
Calculando $ \exp(-3,0625) $:
h(3,5) = 5 cdot exp(-(3,5)^24) = 5 cdot exp(-12,254) = 5 cdot exp(-3,0625)
Então:
exp(-3,0625)
E a energia potencial final é:
exp(-3,0625) approx 0,046

Passo 4

A conservação de energia nos diz que a energia total inicial é igual à energia total final, assumindo que não há perdas (como atrito). Assim:
Epinicial = Ekfinal + Epfinal
Onde:
  • $ E_{k_{final}} $ é a energia cinética no final da rampa.
Rearranjando para encontrar a energia cinética:
Ekfinal

Passo 5

Agora, vamos relacionar a energia cinética com a velocidade. A energia cinética é dada por:
Ek = 12 m v^2
Queremos encontrar $ v $, então rearranjamos a fórmula:
v
Substituindo os valores:
v = raiz2 Ekm

Resposta

A velocidade do bloco quando ele chega ao final da rampa é aproximadamente 9,67 metros por segundo.

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