Um bloco de 5 kg desce do alto de uma rampa em forma de gaussiana, cujo perfil de altura é
, válido para
. Calcule a velocidade do bloco quando ele chegar no final da rampa.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos um bloco de 5 kg descendo por uma rampa que tem o formato de uma gaussiana. A altura da rampa em qualquer posição $ x $ é dada por:
Essa rampa vai de $ x = 0 $ até $ x = 3,5 $ metros. Nosso objetivo é calcular a velocidade do bloco quando ele chega ao final da rampa.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial e energia cinética, além da conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia potencial inicial do bloco no topo da rampa. A energia potencial gravitacional é dada por:
Onde:
- $ m = 5 , kg $ é a massa do bloco.
- $ g = 9,8 , m/s^{2} $ é a aceleração devido à gravidade.
- $ h $ é a altura inicial.
No topo da rampa ($ x = 0 $):
Então, a energia potencial inicial é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia potencial final quando o bloco chega ao final da rampa ($ x = 3,5 $ m):
Calculando $ \exp(-3,0625) $:
Então:
E a energia potencial final é:
Passo 4
A conservação de energia nos diz que a energia total inicial é igual à energia total final, assumindo que não há perdas (como atrito). Assim:
Onde:
- $ E_{k_{final}} $ é a energia cinética no final da rampa.
Rearranjando para encontrar a energia cinética:
Passo 5
Agora, vamos relacionar a energia cinética com a velocidade. A energia cinética é dada por:
Queremos encontrar $ v $, então rearranjamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade do bloco quando ele chega ao final da rampa é aproximadamente 9,67 metros por segundo.